Matematické Fórum

Bati · 19. 01. 2013 19:49

Ahoj všem,
učím se na analýzu a zasekl jsem se v půlce jednoho důkazu. Předem děkuji za jakoukoliv radu.

Věta: Každá část separabilního metrického prostoru je separabilní.

Můj důkaz: Označím $(X,\rho)$ separabilní metrický prostor a jeho podprostor $M\neq\emptyset$ . Protože $X$ je sep., existuje spočetná množina $Q=\{x_1,x_2,\ldots\}\subset X$ taková, že $\overline{Q}=X$ (je hustá v X).
Nyní uvažuji systém okolí bodů z $Q$ : $U$x_n,\frac1k$$ , kde $m,k\in\mathbb{N}$ . Označím $\mu_{n,k}$ jeden libovolný bod z $M\cap U$x_n,\frac1k$$ , pokud takový existuje. Označím ještě $Q_M=\{\mu_{n,k}:n,k\in\mathbb{N}\}$ . Zřejmě $Q_M\subset M$ a je spočetná. Budu chtít nyní dokázat, že $Q_M$ je hustá v $M$ .
1) Předpokládám, že $x\in M$ . Protože $Q$ je hustá v $X$ , existuje bod $x_m\in Q$ takový, že $x\in U$x_m,\frac1k$$ . Takže $x\in M\cap U$x_m,\frac1k$\neq\emptyset\Rightarrow \exists \mu_{n,k}\in U$x_m,\frac1k$$ .
$x\in\overline{Q_M}\Leftrightarrow 0=\rho$x,Q_M$\leq\rho(x,\mu_{n,k})\leq\rho(x,x_m)+\rho(x_m,\mu_{n,k})\leq\frac2k\to0$
2) Potřebuju dokázat, že $x\in\overline{Q_M}\Rightarrow x\in M$ , na což právě nemohu přijít. Myslím si, že něco triviálního přehlížím, nebo mám někde chybu spíš, než že by to bylo těžké.

lecopivo · 19. 01. 2013 20:18

Nemel byt se ten uzaver $\overline{Q_M}$ delat pouze v prostoru $(M,\varrho)$ ? Potom je inkluze $\overline{Q_M} \subseteq M$ jasna. Jelikoz chces dokazat, ze prostor $(M,\varrho)$ je separabilni.

Samozrejme pokud udelas uzaver $\overline{Q_M}$ v $(X,\varrho)$ tak to inkluzi nedostanes napr. vem si jako $M$ libovolnou hustou podmnozinu $\mathbb{R}$ , treba iracionalni cisla, ta ma hustou spocetnou podmnozinu $Q_M$ ale jeji uzaver musi byt cele $\mathbb{R}$

Bati · 19. 01. 2013 20:22

↑ lecopivo:
Jo, ten uzávěr je samozřejmě myšlen v $M$ , ne v celém $X$ . Ale stejně nevidím, proč je inkluze $\overline{Q_M} \subseteq M$ jasná. Vím přece jen, že $Q_M \subseteq M$ .

lecopivo · 19. 01. 2013 20:24

Ok takze mas problem s tvrzenim?:

Necht $(X,\varrho)$ je metricky prostor. $A \subseteq X$ je lib podmnozina $X$ . Pak plati $\overline{A} \subseteq X$

Bati · 19. 01. 2013 20:30

No spíš s tímto : $(X,\rho)$ metrický prostor, $A\subseteq B\subseteq X$ . Potom $\overline{A}\subseteq B$ .
To je podle mě blbost, když např. zvolím $A=B$ nějakou otevřenou množinu.

lecopivo · 19. 01. 2013 20:49

No to neplati, ale to nepotrebujes.

Ty chces dokazat, ze $\forall (M \subseteq X) \exists(Q_M \subseteq M) : (|Q_M| = \omega_0 )\wedge (M = \{x\in M: \varrho(x,Q_M)=0\})$

pro porovnani definice separabilniho prostoru:

X je separabilni $\Leftrightarrow \exists(Q \subseteq X) : (|Q| = \omega_0 )\wedge (X = \{x\in X: \varrho(x,Q)=0\})$

Co nechces dokazat:

$\forall (M \subseteq X) \exists(Q_M \subseteq M) : (|Q_M| = \omega_0 )\wedge (M = \{x\in X: \varrho(x,Q_M)=0\})$

Rozdil mezi uzavery:

$\overline{Q_M} = \{x\in M: \varrho(x,Q_M)=0\}$ je uzaver $Q_M$ v $(M,\varrho)$

a $\overline{Q_M} = \{x\in X: \varrho(x,Q_M)=0\}$ je uzaver $Q_M$ v $(X,\varrho)$

Bati · 19. 01. 2013 21:04

Jasně, ten uzávěr nemůže být větší než M, neboť je to uzávěr v M. Je to tak jednoduché a přitom se mi to zdálo tak nemožné - právě kvůli tomu protipříkladu s tou otevřenou množinou, který se mi v hlavě nějak utvořil...takového promrhaného času...

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2013 19:49

Separabilní metrický prostor

#2 19. 01. 2013 20:18

Re: Separabilní metrický prostor

#3 19. 01. 2013 20:22

Re: Separabilní metrický prostor

#4 19. 01. 2013 20:24

Re: Separabilní metrický prostor

#5 19. 01. 2013 20:30

Re: Separabilní metrický prostor

#6 19. 01. 2013 20:49

Re: Separabilní metrický prostor

#7 19. 01. 2013 21:04

Re: Separabilní metrický prostor

Zápatí