#1 08. 01. 2013 23:08
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Geometrická nerovnost
Zdravím. Dneska po cestě na matfyz jsem vymyslel úložku, která mi připadala zajímavá, tak ji sem dám:
Mějme trojúhelník ABC se standardním značení stran a úhlů. Poloměr jeho kružnice vepsané je 1. Zjistěte, jakou minimální možnou hodnotu může nabývat výraz 
a dokažte, že je tato hodnota skutečně minimální.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#2 09. 01. 2013 13:14 — Editoval BakyX (09. 01. 2013 14:50)
Re: Geometrická nerovnost
↑ Anonymystik:
Také pekné úlohy vymýšľaš a žiadnu nechceš poslať napríklad do MO. Prečo mi nechceš veriť, že by sa takýmto pekným úlohám určite potešili :( ?
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#3 16. 01. 2013 22:30
Offline
#4 16. 01. 2013 23:19
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Geometrická nerovnost
a rovnost nastane, když se rovnají sčítance A. průměru, tj. 
. Rozšířením vhodnými siny, abychom mohli aplikovat sinovou větu, dostaneme: 
. Takže pokud si siny srovnám podle velikosti (
) tak nakonec dostanu, že se musí rovnat a tedy aby úhly tvořily trojúhelník, musí se rovnat i úhly a tedy jde o rovnostranný trojúhelník. Pro ten už snadno dopočítáme délky a siny a hodnotu zkoumaného výrazu: 
."Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 16. 01. 2013 23:22
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
↑ Murko: Myslím, že to není správně. Koneckonců, zkus si najít trojúhelník a spočítat pro něj hodnotu zkoumaného výrazu. Jsem si téměř jistý, že ti vyjde víc, než 9. (tj. hint: má to vyjít víc než 9).
Ale dám sem malý hint:
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#6 16. 01. 2013 23:32 — Editoval Anonymystik (16. 01. 2013 23:32)
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
. Jinak rozhodně nadějný postup a souhlasím s tím, že ten trojúhelník musí být rovnostranný."Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#7 16. 01. 2013 23:48
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Geometrická nerovnost
. Tedy stačí najít minimum výrazu 
a nebo ukázat, že je pro libovolný trojúbelník, které uvažujeme, konstantní."Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#8 16. 01. 2013 23:57 — Editoval Anonymystik (16. 01. 2013 23:58)
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#9 17. 01. 2013 17:14
Offline
#10 17. 01. 2013 20:59
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
↑ Murko: Souhlas. Stačí ti to už jen dokázat!
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
si teda upravíme tak, aby sme v ňom mali iba a,b,c : 
, keďže trojuohlník musí byť rovnostranný.
#12 19. 01. 2013 21:24 — Editoval Anonymystik (19. 01. 2013 21:25)
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
↑ Murko: Ahoj.
Jinak jsem rád, že je o úlohu takový zájem, rozvinula se tady rozhodně zajímavá debata a spousta podnětných nápadů, což jsem moc rád.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#13 19. 01. 2013 23:43
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Geometrická nerovnost
↑ Anonymystik:
Ahoj, jak už jsem psal kolegovi Bakyx:
. Tedy pro pevné 
známe i přesnou polohu kružnice vepsané a hledáme protější stranu a o minimální délce. Když dokážeme, že je taková, že daný trojúhelník je rovnoramenný, pak stejnou úvahou musí totéž platit i pro jiný úhel (třeba 
) toho trojúhelníka a z toho odvodíme, že pokud není rovnostranný, můžeme stranu b zvolit jinak (menší) a tím zvětšit hodnotu výrazu 
, který chceme maximalizovat. Pro takové "Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#14 20. 01. 2013 00:14
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Geometrická nerovnost
↑ check_drummer: Výborně. Existuje jistě spousta přístupů, jak úlohu řešit. Ještě sem napíšu pro úplnost svoje autorské řešení:
. Potom totiž 
. Podle permutační nerovnosti platí, že 
. Výraz vlevo je roven 
, kde 
je poloměr kružnice opsané. V každém trojúhelníku ovšem platí nerovnost, že 
, kde 
je poloměr kružnice vepsané. Platí tedy 
. Je zjevné, že je-li trojúhelník rovnostranný, výraz nabývá právě hodnoty 12. Případ 
je analogický. Doufám, že se loha líbila.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#15 20. 01. 2013 02:33
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Geometrická nerovnost
↑ Anonymystik:
Pěkná úloha. Zajímavé je, že někdy lze méně přímočarými metodami přijít na zajímavé postupy. Jedině v tom případě bych řekl že je lze srovnávat s jednoduchými a elegantními řešeními (např. jako Tvé autorské).
A dokonce i neúspěšné řešení může přinést zajímavý postup. Takže to, že se něco nepovede, může být z jiného pohledu úspěch. :-)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline