Matematické Fórum

domorodec_lk · 21. 01. 2013 20:53

ahoj, mohl by mě někdo postrčit s řešením vyšetření průběhu funkce $\frac{-x^{3}+4x^{2}-8x+2}{x-3}$ ?
1. definiční obor je $D(f) ={R} \setminus \ \{3\}$ , funkce je nespojitá v bodě 3
2. funkce není ani sudá ani lichá
3. průsečík s osou x -> musí platit $\frac{-x^{3}+4x^{2}-8x+2}{x-3}=0$ ale netuším jak to spočíst (vzhledem ke složitosti bych to nepočítal)
průsečík s osou y je $-\frac{2}{3}$ (za x jsem dosadil 0)

jelena · 22. 01. 2013 20:40

Zdravím,

pokud ještě aktuální - počáteční kroky jsou v pořádku (také si myslím, že průsečík s osou x se urči jen přibližně), dál dle studijního textu (algoritmus), pro kontrolu můžeš použit online nástroje úvodního tématu VŠ.

Stačí tak pro pokračování? Děkuji.

domorodec_lk · 23. 01. 2013 13:20

↑ jelena:

je to ještě aktuální a děkuji. první i druhá derivace mi vyšla v porovnání s výsledkem online nástrojů úvodního tématu VŠ naprosto stejně. Ale čemu nerozumím, jakým mechanizmem se dobrali k průsečíku osou x a ke stacionárním a kritickým bodům. protože podle mě se to nedá jednoduše spočítat a složitě to nechápu. tam jsem mimo. pokud bych to dokázal, pak by mi už jen zbývalo nakreslit graf.

limity mi kupodivu vyšly nejspíš taky a došel jsem k nim takto:
$\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}+4x^{2}-8x+2}{x-3}$ $\Rightarrow$ po vydělení polynomů $\lim_{x\to\infty}{-x^{2}+x-5-\frac{15}{x-3}}$ $\Rightarrow$ $\lim_{x\to\pm\infty}{-x^{2}+x-5-\frac{15}{x-3}}=\pm\infty$ dospěl jsem k tomu správným postupem?

kdyby mi mohl někdo poradit jak dojít výpočtem k průsečíku osou, ke stacionárním a kritickým bodům v tomto případě, byl bych potěšen.

jelena · 23. 01. 2013 21:29

Zdravím,

pokud jsem dobře zadala Tvou funkci, tak skutečně nic pěkného to není, co se tyče nulových bodů jak pro funkci, tak i pro derivaci. Pokud je to domácí úloha, snad se předpokládá, že můžete používat některou kalkulačku. Máme zlomek, nulový bude, když je nulový čitatel + nezapomenout zaznačit, kde funkce a derivace neexistuje (tento bod také dělí na intervaly).

Pokud bys chtěl provádět ruční výpočet, tak můžeš použit vhodnou numerickou metodu - po SŠ by neměl být problém používat bisekci. Jelikož již derivuješ, tak i Newtonova metoda (viz kapitola "řešení nelineárních rovnic") Numerické metody s postupem předvede i MAW - první tři záložky v odkazu.

Pro limity spíš takovou úpravu, po vykrácení zůstává -x^2 v čitateli vynásobeno na kladnou závorku a kladné číslo v jmenovateli, tedy jak pro x k +oo, tak i pro x k -oo, hodnota funkce bude odcházet do -oo. Souhlasí?

$\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}+4x^{2}-8x+2}{x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}(1-\frac{4}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{2}{x^3})}{x(1-\frac{3}{x})}$

Tak jsi vyšetřil chování funkce "na okraji def. oboru", ještě je třeba vyšetřit chování nalevo a napravo od bodu nespojitosti (což je $x=3$ ). Zároveň ověříš asymptotu bez směrnice.

Můžeš ještě prokonzultovat s autorem zadání jak podrobně chce výpočet nulových bodů - zda můžeš jen z WA nebo jinak. V každém případě musí být jasně uvedeno, že víš, co chceš počítat a proč.

Případně se ještě ozvi, pokud něco třeba doplnit.

domorodec_lk

↑ jelena:taky zdravím,

jestli jsem to pochopil správně, můj výpočet nebyl úplně korektní pro výpočty limit (ikdyž jsem se dobral ke stejnému výsledku = náhoda?)

takže $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}+4x^{2}-8x+2}{x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{3}(1-\frac{4}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{2}{x^3})}{x(1-\frac{3}{x})}$
po vykrácení bude výpočet vypadat následovně
$\lim_{x\to\infty}\frac{-x^{2}(1-\frac{4}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{2}{x^3})}{(1-\frac{3}{x})}=\lim_{x\to\infty}-x^{2}\frac{(1-\frac{4}{x}+\frac{8}{x^2}-\frac{2}{x^3})}{(1-\frac{3}{x})}$
celá limita potom vyjde $\lim_{x\to\infty}{-x^{2}\frac{1}{1}}$ což je tedy $\lim_{x\to\pm\infty}=\pm\infty$

jelena · 24. 01. 2013 11:00

↑ domorodec_lk:

děkuji, ale ani závěr se mi nezdá korektní. Máme $-x^{2}\frac{1}{1}=(-1)(x)^{2}$ , tedy sudá mocnina zajistí +oo jak pro x k -oo, tak i pro x k +oo, ovšem (-1) všechno potom pošle k (-oo) - tak? Je totiž rozdíl v zápisu: $-x^2$ (to máme) nebo $(-x)^2$ (to nemáme). V pořádku? Děkuji.

domorodec_lk · 24. 01. 2013 14:03

↑ jelena:

pravda. je to tak. děkuji za opravu.

jelena · 24. 01. 2013 19:25

↑ domorodec_lk:

také děkuji, pokud již všechno jasné, označ, prosím za vyřešeno.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2013 20:53

vyšetření průbehu funkce

#2 22. 01. 2013 20:40

Re: vyšetření průbehu funkce

#3 23. 01. 2013 13:20

Re: vyšetření průbehu funkce

#4 23. 01. 2013 21:29

Re: vyšetření průbehu funkce

#5 24. 01. 2013 06:18 — Editoval domorodec_lk (24. 01. 2013 06:29)

Re: vyšetření průbehu funkce

#6 24. 01. 2013 11:00

Re: vyšetření průbehu funkce

#7 24. 01. 2013 14:03

Re: vyšetření průbehu funkce

#8 24. 01. 2013 19:25

Re: vyšetření průbehu funkce

Zápatí