Matematické Fórum

Zaneta29

Zdravím, chtěla bych požádat jak na řešení příkladu:
Najděte polynom nejmenšího stupně, který má za kořeny právě všechny primitivní dvacáté odmocniny jedné.

Rumburak · 22. 01. 2013 16:27

Ahoj.
Najdi ty primitivní kořeny a hledaný polynom dostaneš jako součin odpovídajících kořenových činitelů.

Zaneta29 · 23. 01. 2013 16:00

↑ Rumburak:
a Můžu se ještě zeptat, jak mám najít ty kořeny? pomocí rozkladu?

Rumburak

↑ Zaneta29:

Předpokladem je umět řešit v komplexním oboru binomickou rovnici

(1) $z^n = a , a \ne 0 , n \in \{2, 3, ... \}$

(v našem případě pro $a = 1 , n = 20$ ) . Ta má, jak víme, právě $n$ (navzájem různých) kořenů.
Její kořen $r$ , který má tu vlastnost, že množinu všech kořenů rovnice (1) lze vyjádřit ve tvaru

$\{\,r, \,r^2, \, r^3 ,\, ...\, , \, r^n\,\}$ ,

se nazývá primitivním kořenem rovnice (1). Například rovnice $z^2 = 1$ má kořeny $-1 , 1$ , z nichž
$-1$ je její primitivní kořen.

Pokud binomické rovnice řešit neumíš, koukni se případně sem, kde je to vysvětleno v příspěvku #3.

Zaneta29

↑ Rumburak:
Děkuju moc, binomockou rovnici umím řešit, ale zarazilo mě že je tam 20 mocnina a proto sem se obávala, že bych nevěděla jak na to :(

Zaneta29 · 23. 01. 2013 17:32

↑ Zaneta29:
Ještě takový menší dotaz, až najdu ty kořeny, jak zjistím jestli je ten kořen primitní, třeba u 1 je mi jasné že je primivním kořenem první odmocniy z jedné, ale co v případě komplexních kořenů?

Rumburak · 24. 01. 2013 10:16

↑ Zaneta29:

Ještě dodám, že pro pojmem primitívního kořenu by asi bylo vhodné předpokládat, že $a = 1$ , což jsem
dříve opomněl uvést.

Máme tedy rovnici $z^n = 1$ a její kořeny

$z_k = \mathrm{e}^{\frac{2\pi k}{n}\cdot \mathrm{i}} , k = 1 , 2 , ... , n$ .

Primitivním kořenem je jistě $z_1$ a pak každé další $z_k$ , kde $k$ je nesoudělné s $n$ , domnívám se.

check_drummer · 24. 01. 2013 16:22

↑ Zaneta29:
Ahoj, není v zadání, že musí mít polynom racionální koeficienty? Ono je to myslím jedno, protože je mít jestli se nepletu bude, ale muselo by se to dokázat.

Zaneta29 · 25. 01. 2013 12:29

↑ check_drummer:
Ahoj nen, tohle je celé zadání.

lecopivo

Co to tu resite? :D :D

Hledany polynom musi mit stupen alespon 20, jelikoz ma mit 20 ruznych korenu.

No a kazna dvacata odmocnina jedne je urcite korenem polynomu: $P(x) = x^{20} -1$ .

Tedy hledany polynom je $x^{20} - 1$

Ty koreny neni vubec treba hledat!

Edit: Sakra, kacam. Co je to primitivni koren? Neni to takovy ten jednonasobny? tj. $x_0$ je primitivni koren $P(x)$ prave kdyz $P(x_0) = 0$ a $P'(x_0) \neq 0$ .

Brano · 25. 01. 2013 13:21 — Editoval Brano (25. 01. 2013 13:24)

↑ lecopivo:
ja som najprv urobil tu istu chybu :-)
tu je definicia: http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_ … t_of_unity
po jej zhliadnuti je to uz potom lahke

lecopivo

Dobry, tak uz jsem to snad pochopil.

20 = 5 * 4. Chces tedy dvacate odmocniny jedne, ktere nejsou zaroven pate nebo ctvrte odmocniny jedne.

Pate resp. ctvrte odmocniny jedne jsou koreny polynomu $x^5-1$ resp. $x^4-1$ .

Hledany polynom je $\frac{(x^{20}-1)(x-1)}{(x^5-1)(x^4-1)}$ (je treba si uvedomit, ze jen jednicka je zaroven patou i ctvrtou odmocninou z jedne)

No a to jsem si nechal podelit Mathematicou a vyslo $(1 - x + x^4 - x^6 + x^8 - x^{11} + x^{12})$

Edit: Upraveno aby to sedelo s definici z wiki(viz Brano)

Brano · 25. 01. 2013 14:29 — Editoval Brano (25. 01. 2013 14:37)

↑ lecopivo:
pockaj niekde je chyba (myslim, ze si zabudol na 10 odmocniny) - http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial

↑ check_drummer:
Myslim, ze to nakoniec vyzera tak, ze asi nemusi mat racionalne koeficienty, lebo je tam volnost multiplikativnej konstanty a ta moze byt dokonca aj komplexna.

Brano · 25. 01. 2013 14:54 — Editoval Brano (25. 01. 2013 15:02)

Ja by som na zaklade ↑ lecopivo: postupoval takto:
Delitele 20 (mensie ako 20) su: $1,2,4,5,10$
Chceme najst najmensi spolocny nasobok $(x-1),\ (x^2-1),\ (x^4-1),\ (x^5-1),\ (x^{10}-1)$ .
Ak $k|n$ tak $(x^k-1)|(x^n-1)$ . Vsetko okrem $4$ deli $10$ , cize chceme uz iba najmensi spolocny nasobok $x^4-1$ a $x^{10}-1$ . Tak od pohladu ich najvacsi spolocny delitel je $x^2-1$ teda ten nasobok je:
$\frac{(x^{10}-1)(x^4-1)}{x^2-1}$ a teda vysledok je
$\frac{(x^{20}-1)(x^2-1)}{(x^{10}-1)(x^4-1)}=1-x^2+x^4-x^6+x^8$
pocital to W|A a sedi to s vysledkom na wiki ... $\Phi_{20}$

PS: to co som povodne tvrdil, ze "lahke" tak tym som myslel vypisat si tie korene a vynasobit korenove cinitele ako radil ↑ Rumburak: - samozrejme v nejakom programe :-)