Matematické Fórum

Petr1992 · 28. 01. 2013 17:01

Dobrý den, my jsme na přednáškách probírali diferenciální rovnice, ale učitel to vzal celkem hopem, moc jsme to neprocvičili a už to dává do zkouškového období.....

Měl bych dva příklady na diferenciální rovnice a potřeboval bych od někoho pomoci s výpočtem, nevím vlastně ani jak začít.....A poradit, co by bylo důležité si z této látky nejvíc zapamatovat..

$1) xy'=2y+y'$
a druhý příklad :
$2) xy'=2(y+x^{4})$

Můžete mi poradit alespon s jedním příkladem? druhý bych si samozřejmě zkusil vypočítat, děkuji

Wellcosh

Separace proměnných. U jedničky
$y'(x-1) = 2y$
${y' \over 2y} = {1 \over x-1}$
$\int {\mbox{d}y \over 2y} = \int {\mbox{d}x \over x-1}$

jarrro · 28. 01. 2013 17:25 — Editoval jarrro (28. 01. 2013 17:26)

1)
$xy^{\prime}=2y+y^{\prime}\nl $x-1$y^{\prime}=2y\nl \frac{y^{\prime}}{2y}=\frac{1}{x-1}$
stačí zintegrovať
$xy^{\prime}=2$y+x^{4}$\nl xy^{\prime}-2y=2x^4$
časť bez pravej strany je
$\frac{y^{\prime}}{2y}=\frac{1}{x}$
opäť stačí zintegrovať
partikulárne riešenie hľadaj v tvare
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Petr1992 · 28. 01. 2013 17:56

no zatím jsem se podíval na první příklad...
zkusil jsem to zintegrovat a mám trošku problém...

$ln(x-1)+C=\frac{1}{2}\int_{}^{}y^{-1}dy$
$ln(x-1)+C=\frac{1}{2}\cdot \frac{y^{-1+1}}{-1+1}$
$ln(x-1)+C=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{0}$

no a ve jmenovateli přeci nula být nemůže takže musím mít někde chybu....Co s tím ?

jarrro · 28. 01. 2013 18:26

$\frac{y^{\prime}}{2y}=\frac{1}{x-1}\nl \frac{1}{2}\ln{\left|y\right|}=\ln{$c\left|x-1\right|$}\nl \sqrt{\left|y\right|}=c\left|x-1\right|\nl y=c$x-1$^2$

Petr1992 · 28. 01. 2013 18:54

tak jo...první příklad jsem pochopil, jenom nevím proč není konstanta C i n levé straně u y.....tam se konstanta nepíše?

a s druhým příkladem mám stále problém :(

$xy'-2y=2x^{4}$
nerozumím dalším postupům....snažím se dostat x které je na levé straně , dostat na pravou...ale nějak mi to nejde....

jarrro · 28. 01. 2013 20:04

↑ Petr1992:konštanta ako konštanta to máš jedno v akom tvare ju napíšeš
pri logaritmických integráloch je užitočné ju napísať ako logaritmus nejakej inej (samozrejme kladnej) konštanty
všeobecné riešenie druhej úlohy je v tvare
$y=h{$x$}+p{$x$}$
kde
$h$
je všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany teda rovnice
$xh^{\prime}-2h=0$
a
$p$
je nejaké jedno riešenie rovnice
$xp^{\prime}-2p=2x^{4}$
hľadaj ho v tvare
$p{$x$}=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
teda
$4ax^4+3bx^3+2cx^2+dx-2ax^4-2bx^3-2cx^2-2dx-2e=2x^{4}$
porovnať koeficienty a riešiť sústavu

Petr1992 · 29. 01. 2013 07:18

já na to koukám jak buk, ale stejně mi to nic neříká.... chodil jsem na všechny přednášky z matematiky, ale jsem si jist že takovýhle postup jsme neprobírali....
Trošku ještě nerozumím co s tím mám udělat ke konci, můžete mi pomoct?

jarrro · 29. 01. 2013 12:22 — Editoval jarrro (29. 01. 2013 12:37)

sčítať tie dve riešenia to
to partikulárne riešenie je ešte možnosť hľadať v tvare takom ako je všeobecné, ale konštantu považovať za funkciu teda
$xh^{\prime}=2h\nl \frac{h^\prime}{2h}=\frac{1}{x}\nl \frac{\ln{\left|h\right|}}{2}=\ln{$c\left|x\right|$}\nl h=cx^2$
a riešenie s pravou stranou hľadať v tvare
$c{$x$}x^2$
teda
$x$c^{\prime}x^2+2cx$-2cx^2=2x^4$

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2013 17:01

Diferenciální rovnice

#2 28. 01. 2013 17:22 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 17:23)

Re: Diferenciální rovnice

#3 28. 01. 2013 17:25 — Editoval jarrro (28. 01. 2013 17:26)

Re: Diferenciální rovnice

#4 28. 01. 2013 17:56

Re: Diferenciální rovnice

#5 28. 01. 2013 18:26

Re: Diferenciální rovnice

#6 28. 01. 2013 18:54

Re: Diferenciální rovnice

#7 28. 01. 2013 20:04

Re: Diferenciální rovnice

#8 29. 01. 2013 07:18

Re: Diferenciální rovnice

#9 29. 01. 2013 12:22 — Editoval jarrro (29. 01. 2013 12:37)

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí