Matematické Fórum

petrklic5 · 10. 02. 2013 16:50

poradil by mi někdo prosím jak na tento příklad? děkuji $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^{n-1}}{(2+n^{-1})^{n}}$

martisek · 10. 02. 2013 17:34

↑ petrklic5:

Upravil bych na

$\frac {1} {2} \sum_1^\infty {\left( \frac{2} {2+n^{-1}}\right) }^n$

a použil odmocninové kriterium.

Brano · 10. 02. 2013 17:34

Staci overit, ze neplati nutna podmienka konvergencie radu, t.j. spocitaj limitu n-teho clena.

Creatives

↑ Brano:
To samozřejmě nestačí, ale je pravda, že v některých případech to může pomoct.

petrklic5 · 10. 02. 2013 17:47

když bych tedy použil podílové kriterium a dostanu .. $\frac {1} {2} \sum_1^\infty {\left( \frac{2} {2+n^{-1}}\right) }^n=\frac {1} {2} \sum_1^\infty {\left( \frac{2} {2+n^{-1}}\right) }$ vím, že když bude výraz větší než 1 bude divergovat jinak konverguje..ale pořád nemůžu přijít na další krok jak si to upravit..

Creatives

↑ petrklic5:
TeĎ z toho vypočteš limitu pro n-> nekonečna, protože se jedná o limitní odmocninové kritérium. Stačí pouze dosadit

petrklic5 · 10. 02. 2013 17:54

↑ Creatives:
$\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty }\frac{2+n}{2}= \infty$ $\infty >1$ $\Rightarrow Diverguje$ takhle ?

Brano · 10. 02. 2013 22:00

↑ Creatives:
Teraz si nie som isty co chces povedat. Ja som netrvdil, ze to staci vo vseobecnosti, dolezite je, ze to staci v tomto pripade.
$\lim_{n\to \infty}\frac{2^{n-1}}{(2+n^{-1})^{n}}=\frac{1}{2\sqrt{e}}$
a teda suma radu je trivialne $+\infty$ .

Creatives

↑ Brano:
Poněvadž je to špatná metoda. Věta tvrdí, že jestliže řada konverguje je její limita pro n->nekonečna rovna 0, ale opačně to ovšem neplatí. Potom, to může autor považovat za pravidlo a řídit se podle toho.

Samozřejmě máš pravdu, ale nevím jestli by nějaký učitel uvítal tento postup. . .

Brano · 10. 02. 2013 22:18 — Editoval Brano (10. 02. 2013 22:22)

$A\Rightarrow B$ je ekvivalentne s $\neg B\Rightarrow \neg A$ - hovori sa tomu obmena implikacie a uci sa to na strednej skole.

( "rad konverguje" teda "n-ty clen konverguje k 0" ) je ekvivalentne s ( "n-ty clen nekonverguje k 0" teda "rad nekonverguje" )

cize ano JE to pravidlo

Creatives · 10. 02. 2013 22:23

↑ Brano:
Však říkám, že máš pravdu....

Brano · 10. 02. 2013 22:39

Ved to, ze nechapem potom tvoju vyhradu.

Asi teda myslis to, ze ak by mu ta limita vysla 0, tak z toho nic nevie a ano to je pravda. Ale ak toto je problem, tak taky isty problem maju vsetky kriteria. Tie tiez hovoria "Ak X potom konverguje; Ak Y potom diverguje; Ak Z potom nevieme a treba skusit nieco ine" - cize sa obvykle berie taky postup, ze zacinas co najjednoduchsim kriteriom, pozries ci rozhodlo a ak nie tak ides na nejake silnejsie kriterium (obvykle zlozitejsie).

Vyhoda tohoto pristupu by mala byt v tom, ze jednoduche kriteria (ako v tomto pripade ta limita n-teho clenu) by mal clovek zvladnut spocitat z hlavy pomerne rychlo.

Creatives · 10. 02. 2013 22:45

↑ Brano:
Jak už jsem psal, jenom šlo o to, že by to mohlo autora splést(a nejenom jeho) někteří si to totiž mohou vyložit jako ekvivalenci.

Ale teď nevím jestli jsem blbý, ale proč mi pořád vychází limita pomocí toho limitního odmocninového kritéria $\frac{1}{2}$ ?

Brano · 10. 02. 2013 23:10

otocme to
$\left(\frac{2+1/n}{2}\right)^n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n\frac{1}{2}}\to e^{\frac{1}{2}}$

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2013 16:50

konvergence, divergence

#2 10. 02. 2013 17:34

Re: konvergence, divergence

#3 10. 02. 2013 17:34

Re: konvergence, divergence

#4 10. 02. 2013 17:43 — Editoval Creatives (10. 02. 2013 17:47)

Re: konvergence, divergence

#5 10. 02. 2013 17:47

Re: konvergence, divergence

#6 10. 02. 2013 17:50 — Editoval Creatives (10. 02. 2013 17:52)

Re: konvergence, divergence

#7 10. 02. 2013 17:54

Re: konvergence, divergence

#8 10. 02. 2013 22:00

Re: konvergence, divergence

#9 10. 02. 2013 22:12 — Editoval Creatives (10. 02. 2013 22:14)

Re: konvergence, divergence

#10 10. 02. 2013 22:18 — Editoval Brano (10. 02. 2013 22:22)

Re: konvergence, divergence

#11 10. 02. 2013 22:23

Re: konvergence, divergence

#12 10. 02. 2013 22:39

Re: konvergence, divergence

#13 10. 02. 2013 22:45

Re: konvergence, divergence

#14 10. 02. 2013 23:10

Re: konvergence, divergence

Zápatí