Matematické Fórum

check_drummer · 11. 02. 2013 21:41

Ahoj,
přemýšlel jsem o tom, zda existuje nějaká "nespočetná" analogie spočetného součtu/součinu. "Klasická" řáda má, schematicky zapsáno, tvar $\sum_{i \in \mathbb{N}}{a_i}$ , tak by mohlo být zajímavé, zda neexistuje nějaká analogie, kde indexovou množinou by byla např. všechna reálná čísla, případně nějaká jejich nespočetná podmnožina. Např. by mohlo mít smysl zkoumat výraz tvaru $\prod_{x \in (0;1)}{x}$ (slovy: "součin všech reálných čísel z intervalu (0;1)"), což by dle mého (ačkoli jsme tento výraz zatím nedefinovali) mohla být 0.
Potom by další zajímavá úloha mohla být: Najděte $z:=\sup\{y; \prod_{x \in (0;y)}{x}=0\}$ , tj. pro větší hodnoty než z nebude uvedený součin roven 0 a hodnota z je v tomto smyslu "hraniční".
Každopádně je to spíš jen taková idea, nevím, zda ji lze vůbec formálně podchytit a zda by měla nějaké "praktické" využití (i když i jako hříčka by mohla být pěkná).
(Zajímavé by také bylo neuvažovat interval všech reálných čísel, ale uvažovat z tohoto intervalu jen čísla racionální - to je také hustá (ne ve smyslu mládežnického slangu) množina a tímto případem by asi bylo jednodušší začít.)

Každopádně díky za názory a příspěvky do diskuse, ať už budou jakékoliv.

pietro · 11. 02. 2013 22:21

↑ check_drummer: Ahoj, neviem či by som mohol aj takto spočítať nulový súčin...?

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

Rozšíření definice symbolu $\sum_{i \in M}{a_i}$ i na případy, kdy množina $M$ je nekonečná (případně i nespočetná) by mohlo
vypadat třeba takto:

$\sum_{i \in M}{a_i} = S \in \mathbb{R}$ ,

právě když ke každému $\varepsilon > 0$ existuje konečná množina $D \subseteq M$ taková, že pro libovolnou konečnou množinu $K$
splňující $D \subset K \subseteq M$ platí

$\left|S - \sum_{i \in K}{a_i}\right| < \varepsilon$ .

Obdobně pro "obecný součin".

Analogické definice pro $S = \pm \infty$ si jistě už postavíš sám.

Můžeš tyto definice prozkoumat :-) .

PS. Nyni si vzpomínám, že tímto dotazem jsme se zebývali zde.

check_drummer · 14. 02. 2013 22:35

↑ Rumburak:
Ahoj, děkuji za reakci. Možná by bylo zajímavé předpokládat, že M je dobře uspořádaná a pak v té definici zohlednit "počáteční" části M.
Protože ve Tvém případě, pokud M jsou přirozená čísla (tj. máme klasickou řadu), tak vlastně požaduješ konvergenci libovolné přerovnané řady, což je možná zbytečně silné.

Pavel Brožek · 15. 02. 2013 01:21

Tento odkaz by tě mohl zajímat (definice sumy přes nespočetnou množinu jako supremum součtů přes konečné podmnožiny):

http://planetmath.org/UncountableSumsOf … mbers.html

Brano · 15. 02. 2013 01:44 — Editoval Brano (15. 02. 2013 01:46)

↑ Rumburak:
Toto som videl v nejakej knizke z funkcionalky, da sa ukazat, ze vysledok moze byt konecny iba ak spocitatelne vela clenov je nenulovych (co zrejme poznas :-)

↑ Pavel Brožek:
Toto je specialny pripad toho co napisal ↑ Rumburak:

vlado_bb · 15. 02. 2013 06:35

↑ check_drummer:Pokial ide o sucet, za nespocitatelnu analogiu pre podmnoziny R by sa dal povazovat urcity integral.

Rumburak · 15. 02. 2013 10:59

↑ Brano:
Ani já to nemám ze své hlavy :-). Ta podmínka pro konečnost součtu je mi rovněž známa.

Rumburak · 15. 02. 2013 11:02

↑ check_drummer:

To je zajímavý nápad, určitě se nad ním příležitostně zamyslím.

Brano · 15. 02. 2013 11:41 — Editoval Brano (15. 02. 2013 14:53)

↑ check_drummer:
Pociatocne casti v takom $2^{2^{\omega_0}}$ vedia byt dost velke mnoziny, napr. $2^{\omega_0}$ , takze to moze byt problem. Ale mozno by to islo nejak induktivne. Mame definovany sucet cez $\omega_0$ teda mozme definovat sucet cez $\omega_1$ lebo tam su pociatocne useky spocitatelne, atd.

edit: Teraz ked tak nad tym rozmyslam, tak asi ani nie. Aj v $\omega_1$ su rozne divoke ordinaly napriek tomu ze su spocitatelne, napr. $\varepsilon_0$ - na ten by predchadzajuci krok nemusel stacit.

Brano · 15. 02. 2013 19:10

↑ check_drummer:
a co sa tyka otazky na sucin, tak ano je to $0$ v zmysle ↑ Rumburak: - staci to zlogaritmovat. Pre $y>1$ to uz nebude konvergovat.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2013 21:41

Nespočetně nekonečná suma/součin

#2 11. 02. 2013 22:21

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#3 13. 02. 2013 10:24 — Editoval Rumburak (13. 02. 2013 10:54)

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#4 14. 02. 2013 22:35

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#5 15. 02. 2013 01:21

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#6 15. 02. 2013 01:44 — Editoval Brano (15. 02. 2013 01:46)

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#7 15. 02. 2013 06:35

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#8 15. 02. 2013 10:59

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#9 15. 02. 2013 11:02

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#10 15. 02. 2013 11:41 — Editoval Brano (15. 02. 2013 14:53)

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

#11 15. 02. 2013 19:10

Re: Nespočetně nekonečná suma/součin

Zápatí