Matematické Fórum

Freedy · 13. 02. 2013 22:58

Dobrý večer, vzhledem k tomu, že všude na internetu jsou vzorce jen pro poloviční úhly nebo dvojnásobné úhly, našel sem příklad

$\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}$

Jak se rozkládají členy sin (nx) a cos (nx) ?
Nebo jak se rozloží členy sin (x/3) nebo cos(x/3) popřípadě x/4 x/5... ?

Děkuju za odpovědi

Blackflower

↑ Freedy: Skús použiť niečo ako $\sin3x=\sin(2x+x)$ a pod.

Freedy · 13. 02. 2013 23:25 — Editoval Freedy (13. 02. 2013 23:28)

Je to dobrý nápad...

Já to teda zkusil a vychází mi:
$\frac{\sin 3x}{\sin x} =$
$\frac{\sin (2x+x)}{\sin x}=$
$\frac{\sin (2x)\cos (x)+\cos 2x\sin x}{\sin x}=$
$\frac{2\sin (x)\cos (x)\cos (x)+(\cos ^2x-\sin ^2x)\sin x}{\sin x}=$
$2\cos ^2x+\cos 2x$

$\frac{\cos 3x}{\cos x}=$
$\frac{\cos (2x+x)}{\cos x}=$
$\frac{\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x}{\cos x}=$
$\frac{\cos 2x\cos x-2\sin x\cos x\sin x}{\cos x}=$
$\cos 2x-2\sin ^2x$

Takže potom:
$(2\cos ^2x+\cos 2x)-(\cos 2x-2\sin ^2x)$
$(2\cos ^2x+\cos ^2x-\sin ^2x)-(\cos ^2x-\sin ^2x-2\sin ^2x)$
$(3\cos ^2x-\sin ^2x)-(\cos ^2x-3\sin ^2x)$
$=2$

??? :D
Mám takovej pocit, že takhle hezkej výsledek nevyšel náhodou, ale chtěl bych jen poprosit o kontrolu, protože u zmíněného příkladu není přiložen výsledek.

PS: co s tím třeninovým, polovičním úhlem?

Blackflower · 13. 02. 2013 23:44

↑ Freedy: Máš to správne, niekedy stačí použiť wolfram ;) http://www.wolframalpha.com/input/?i=si … ;t=crmtb01
Čo sa týka tretinového uhla, ja osobne žiaden vzorec nepoznám, na polovičný vzorce existujú:
$|\sin\frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
$|\cos\frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$
Ale to asi pre teba nie je nič nové.

jelena · 14. 02. 2013 00:32

Zdravím v tématu, jen drobné doplnění:

↑ Freedy: můžeš pohledat různé odkazy, například i včetně důkazů (zde kolegové dokazovali pomocí komplexních čísel).

Dost často pomůže si představovat známý goniometrický vzorec ne zleva-napravo, ale naopak. Např. ve Tvém případě přivedení ke společnému jmenovateli dává v čitateli vzorec (ovšem zprava, tedy upravíš směrem nalevo).

Honzc · 14. 02. 2013 06:41

↑ Freedy:
Dají se najít i rekurentní vzorce
$\sin n\alpha =n\;\sin \alpha\;\cos ^{n-1}\alpha -{n \choose 3}\sin ^{3}\alpha \;\cos ^{n-3}\alpha+{n \choose 5}\sin ^{5}\alpha \;\cos ^{n-5}\alpha-...$
$\cos n\alpha =\cos^{n}\alpha -{n \choose 2}\sin ^{2}\alpha \;\cos ^{n-2}\alpha+{n \choose 4}\sin ^{4}\alpha \;\cos ^{n-4}\alpha-...$

zdenek1 · 14. 02. 2013 07:55

↑ Freedy:
A co takto:
$\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}=$
$=\frac{\sin (3x-x)}{\frac 12 2\sin x\cos x}=\ldots$

Honzc · 14. 02. 2013 10:27

↑ zdenek1:
Zdravím,
to je exceletní řešení. Obdiv.

Freedy · 14. 02. 2013 10:33

↑ zdenek1:
Můžu se jen zeptat, jak si se dostal z druhého řádku na třetí? to že si upravil na stejného jmenovatel chápu, ale kam se ti potom podělo cosx - cos 3x?

jelena · 14. 02. 2013 10:37

↑ Freedy:

to je, o čem povídám ve ↑ slohovce: :-)

↑ zdenek1:, ↑ Honzc: Také pozdrav.

Rumburak

↑ Honzc:,

Ahoj.

Neměli bychom být nespravedliví ke kolegyni Jeleně, která na tuto možnost úpravy upozornila již zde ↑ jelena: . :-)

↑ Freedy:

Viz vzorec $\sin(a - b) = ...$ .

Nezapomeň uvést předpoklady, kdy má původní výraz a tedy i jeho úprava smysl.

Freedy · 14. 02. 2013 12:03

Aha, už to vidím. :D dá se to krásně rozložit. Takže příklad kterej sem počítal na 2 stránky se zmrštil do 3 řádků. Krása.
A jinak podmínky jsou teda $x\not = \frac{k\pi }{2}$ ;) díky

Freedy · 14. 02. 2013 12:12

Jen ještě jeden malý dotaz, nechci zakládat nové téma zbytečně.
$\frac{\sin 3x+\sin 5x+\sin 7x}{\cos 3x+\cos 5x+\cos 7x}=$
Není na tento příklad nějaké elegantnější řešení než to všechno rozkládat pomocí sin(x)+sin(y) a cos (x)+cos(y)?
Protože mi to příjde strašně dlouhý, a dostanu se tam zase na sin 4x a to se pak zase musí hnusně rozkládat. Neexistuje lepší postup?

BakyX · 14. 02. 2013 12:25

↑ Freedy:

Čo je na $\sin x + \sin y$ zlé ?

$\sin 3x+\sin 7x + \sin 5x = 2 \sin 5x \cos 2x + \sin 5x = \sin 5x(1+ \cos 2x)$

$\cos 3x+\cos 7x + \cos 5x = 2 \cos 5x \cos 2x + \cos 5x = \cos 5x(1+\cos 2x)$

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2013 22:58

Goniometricke vzorce

#2 13. 02. 2013 23:02 — Editoval Blackflower (13. 02. 2013 23:15)

Re: Goniometricke vzorce

#3 13. 02. 2013 23:25 — Editoval Freedy (13. 02. 2013 23:28)

Re: Goniometricke vzorce

#4 13. 02. 2013 23:44

Re: Goniometricke vzorce

#5 14. 02. 2013 00:32

Re: Goniometricke vzorce

#6 14. 02. 2013 06:41

Re: Goniometricke vzorce

#7 14. 02. 2013 07:55

Re: Goniometricke vzorce

#8 14. 02. 2013 10:27

Re: Goniometricke vzorce

#9 14. 02. 2013 10:33

Re: Goniometricke vzorce

#10 14. 02. 2013 10:37

Re: Goniometricke vzorce

#11 14. 02. 2013 10:49 — Editoval Rumburak (14. 02. 2013 10:51)

Re: Goniometricke vzorce

#12 14. 02. 2013 12:03

Re: Goniometricke vzorce

#13 14. 02. 2013 12:12

Re: Goniometricke vzorce

#14 14. 02. 2013 12:25

Re: Goniometricke vzorce

Zápatí