Matematické Fórum

KikM · 17. 02. 2013 13:30 — Editoval KikM (17. 02. 2013 14:33)

Zdravím, měla bych velkou prosbu, neví si někdo rady s tímto příkladem? Absolutně nevím, čím začít a náčrtky mi nepomáhají. Byla bych moc vděčná za vyřešení.

1) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV jsou hrany vedené z vrcholu 2x delší než hrany podstavy. Vypočtěte odchylku rovin dvou protějších stěn.

Sama jsme se k nějakému postupu nebo řešení vůbec nedostala, nedokážu s tím pohnout. Děkuju moc všem, kteří na to maličko mrknou, Kristýna.

Aquabellla

↑ KikM:

Ahoj,

Víme, že $|AV| = 2 \cdot|AB|$ . Označme si hranu podstavy $AB = a$ , to znamená, že hrana vedená z vrcholu je dlouhá $AV = 2a$ .

Chceme odchylku rovin dvou protějších stran, to je velikost úhlu při vrcholu $V$ v trojúhelníku $S_1 V S_2$ , kde $S_1$ je střed hrany $AB$ a $S_2$ je střed hrany $CD$ . Jde o rovnoramenný trojúhelník. Délka $S_1 S_2$ je jasná, to je $a$ . Délku $S_1 V$ je potřeba dopočítat z pravoúhlého trojúhelníku $A S_1 V$ . Pak už stačí použít kosinovu větu pro zjištění velikosti našeho hledaného úhlu, protože známe velikosti všech tří stran.

Aquabellla · 17. 02. 2013 15:10

↑ KikM:

Trojúhelník $A S_1 V$ je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu $S_1$ . Délka $|A S_1| = \frac{a}{2}$ a délka $|AV| = 2a$ .
Na délku $S_1 V$ stačí použít Pythagorovu větu $|A S_1|^2 + |S_1 V|^2 = |AV|^2$ .

((:-)) · 17. 02. 2013 15:24

martisek

↑ KikM:

Asi je potřeba to nakreslit:

Jde o určení úhlu omega, resp. $\frac \omega 2 = \sphericalangle OVS$ . Trojúhelník VSC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu S, takže z Pythagorovy věty vyjádříme $v =\sqrt{(2a)^2-\left( {\frac a 2}\right) ^2}$ . No a protože trojúhelník VS0 je taky pravoúhlý s pravým úhlem v O, stačí už jen $sin \frac \omega 2 = \frac {\frac a 2} v =\frac {2a} v$ . Po dosazení za v písmenka vypadnou a odtud pak snadno $\frac \omega 2 \Rightarrow \omega$

martisek · 17. 02. 2013 15:36

↑ KikM:

Je to totéž jako "čtyři jabka bez čtvrtky jabka". Jenom místo jabka je a^2.

Arabela · 17. 02. 2013 15:43

Ahoj ↑ KikM:

$4a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{4.4a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}(16-1)=\frac{15a^{2}}{4}$

Je to takto jasné?

Arabela · 17. 02. 2013 15:54

[Ahoj re]p342774|KikM[/re],
to áčko už nemá byť pod odmocninou, takže $\sqrt{\frac{15}{4}}a$ je výsledok po odmocnení, čo sa dá upraviť na $\frac{\sqrt{15}}{2}a$ .

Arabela · 17. 02. 2013 19:00

↑ KikM:,
mne vyšlo čosi iné. Keďže $v=\frac{\sqrt{15}}{2}a$ ,
$\sin \frac{\omega }{2}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{15}}= \frac{\sqrt{15}}{15}$

Arabela · 17. 02. 2013 20:46

↑ KikM:
presne tak...:)

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2013 13:30 — Editoval KikM (17. 02. 2013 14:33)

Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#2 17. 02. 2013 14:53 — Editoval Aquabellla (17. 02. 2013 14:55)

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#3 17. 02. 2013 15:10

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#4 17. 02. 2013 15:24

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#5 17. 02. 2013 15:28 — Editoval martisek (17. 02. 2013 15:34)

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#6 17. 02. 2013 15:36

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#7 17. 02. 2013 15:43

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#8 17. 02. 2013 15:54

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#9 17. 02. 2013 19:00

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

#10 17. 02. 2013 20:46

Re: Odchylky přímek a rovin v prostoru (Stereometrie)

Zápatí