Matematické Fórum

TerezaG · 17. 02. 2013 13:15

Zdravím, prosím o pomoc s výpočtem příkladu:
lim kde x->nekonečnu $(x^{3}\setminus x^{2}+1-x)$

a lim kde x->nekonečnu $(x^3/2x^2-1 - x^2/2x+1)$

má vyjít.. u prvního příkladu 0 a u druhého 1/4

Děkuji moc

Freedy · 17. 02. 2013 13:22 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 13:24)

Ten první příklad je takto?
$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3}{x^2+1-x}=$ protože mi vychází nekonečno. takže je asi zadání jinak že?
A ted druhý už nechápu vůbec. Snaž se lépe závorkovat nebo se naučit psát v latexovem editoru. Z tohoto zadání nejde pochopit jak je ten příklad zadaný

TerezaG · 17. 02. 2013 13:23

↑ Freedy:
ne ne, to x je až za tím zlomkem ;)

Freedy · 17. 02. 2013 13:29

Takže ten první:
$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3}{x^2+1}-x =$
Společný jmenovatel:
$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3}{x^2+1}-\frac{x*(x^2+1)}{x^2+1} =$
$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}= -\frac{x}{x^2+1}=$
$-\frac{x^2*(\frac{1}{x})}{x^2*(1+\frac{1}{x^2})} = \frac{0}{1} = 0$

TerezaG · 17. 02. 2013 13:32

$lim_{x\to\infty }(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{2x+1})$

a $lim_{x\to\infty }(\frac{x^3}{x^2+1}-x)$

Freedy · 17. 02. 2013 13:41 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 13:42)

Ten druhý příklad takto:
$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{2x+1} =$

Stejný jmenovatel:

$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3*(2x+1)-x^2*(2x^2-1)}{(2x^2-1)*(2x+1)}$

Roznásobit:
$\frac{2x^4+x^3-2x^4+x^2}{4x^3+2x^2-2x-1}=\frac{x^3+x^2}{4x^3+2x^2-2x-1}$
$\frac{x^3*(1+\frac{1}{x})}{x^3*(4+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3})}=\frac{1}{4}$

TerezaG · 17. 02. 2013 13:45

↑ Freedy:
díky moc :)) chápu
a ještě mám problém docela s $\lim_{x\to\infty } \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x+1}$ rozšířila jsem a dole mi vyšlo (x+1)(to čím jsem rozšiřovala) a teď bych měla vytknout, ale nevím co :)

jarry7 · 17. 02. 2013 14:41 — Editoval jarry7 (17. 02. 2013 14:42)

ak to správne rozšíriš, v čitateli dostaneš 1 a v menovateli: (x+1)(to čím jsi to rozšiřovala) a teda limita ide k 0

ak sa pýtaš na dominantného člena v menovateli to je x^2 a v čitateli 1

TerezaG · 17. 02. 2013 14:56

↑ jarry7:
No jo, ale já musím z (x+1) $(\sqrt{x^2+1}+x)$ vytknout něco abych neměla pod tou odmocninou x^2 a právě nevím jak na to :D

To stejné tady: $\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}}{x}$ po rozšíření mi ve jmenovateli vyjde $x(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1})$ potřebuji vytknout.. výsledek toho to příkladu má být 2

jarry7 · 17. 02. 2013 14:59 — Editoval jarry7 (17. 02. 2013 15:03)

z (x+1) vtkneš x
z $x^{2}+1$ vykneš x^2 a teda z $\sqrt{x^2+1}$ vykneš x a teda z $(\sqrt{x^2+1}+x)$ vytkneš x

uvažuj vždy najprv výraz pod odmocninou samostatne, vytkni z neho dominantný člen a potom ho odmocni

TerezaG · 17. 02. 2013 15:11

↑ jarry7:
Už už , díky :)

Freedy · 17. 02. 2013 15:14

$\lim_{x\to\infty } \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x+1}$

Jen tady k tomu:
Tady podle mě nemusíš ničím rozšiřovat. Stačí když si to vezmeš jako:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\sqrt{x^2*(1+\frac{1}{x^2})}-x}{x+1}=\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-x}{x+1}=\frac{x-x}{x+1}=\frac{x*(1-1)}{x*(1+\frac{1}{x})}=\frac{0}{1}=0$

jarry7 · 17. 02. 2013 15:21

↑ Freedy: máš pravdu, netreba to rozširovať.

Len jedna poznámka, neuvádzaj to v tejto forme napr v písomkách, zápis nieje správny, formálne nemôžeš najprv spočítať limitu časti funkcie (pokiaľ nepoužívaš vetu o aritmetike limít) a časť nechať s x-om (v tomto prípade si limitil odmocninu a zvyšok nie)

TerezaG · 17. 02. 2013 16:22

Tak mám ještě jeden problém:

$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ má vyjít 2/3
je to vlastně číst vzorce $a^{3}-b^{3}$ a musím k tomu přidat něco, aby to vyšlo, ale nevím jak :/
díky za pomoc

Freedy · 17. 02. 2013 16:43

Ahoj

$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$

tohle bych řešil asi pomocí hospitalova pravidla.
Takže:

$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ =
$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=$
$\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt[3]{x}-1)'}{(\sqrt{x}-1)'}=\frac{\frac{1}{3\sqrt[3]{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x}}= \frac{2}{3}$

TerezaG · 17. 02. 2013 16:50

↑ Freedy:
To bych věděla, ale na písemce to takto dělat bohužel nemůžeme :/

Bati · 17. 02. 2013 16:52

↑ Freedy:
↑ TerezaG:
Nebo stačí použít "substituci" $x=y^6$ a vyjde to po zkrácení okamžitě.

Freedy · 17. 02. 2013 16:58 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 17:02)

↑ Bati: Jako že by to vyšlo:

$\lim_{x\to1}\frac{y^2-1}{y^3-1}= \frac{(y+1)*(y-1)}{(y-1)*(y^2+y+1)} = \frac{2}{3}$
:) ok jde to i takto. Nechápu proč je zakázano používat hospitalovo pravidlo -.-

Bati · 17. 02. 2013 17:04 — Editoval Bati (17. 02. 2013 17:04)

↑ Freedy:
L'Hospitalovo pravidlo je na odvození poměrně komplikovaná věc, při tom se lze bez něj často obejít. Nemá smysl používat věci, kterým nerozumíme.

TerezaG · 17. 02. 2013 17:28

↑ Bati:
Protože využívá derivaci, která je definovaná až pomocí limit, to je prý ten důvod :D
.. ale jinak díky, chápu, akorát bych na to nepřišla

TerezaG · 18. 02. 2013 17:34

Mám ještě problém s tímto:

$\lim_{x\to-2+}\frac{x^3+8}{(x+2)^2}$
..dosazuji tedy např. (-1.99).. v čitateli mi vyjde 0,11 a nevím co s čitatelem, vychází to divně..

Potom ještě s: $\lim_{x\to\sqrt{3}}\frac{x^4-6x^2+9}{x^3-3x^2-3x+9}$ , jde mi o rozklady čitatele a jmenovatele, docela se v tom ztrácím, vím, že bych mohla dělit mnohočlen, ale s $\sqrt{3}$ se mi do toho moc nechce.. :/

Díky moc za pomoc :)

((:-)) · 18. 02. 2013 18:07 — Editoval ((:-)) (18. 02. 2013 18:08)

↑ TerezaG:

Čitateľ druhej limity: $(x^2-3)(x^2-3)=\cdots$

Menovateľ: $(x^2-3)(x-3)$

TerezaG · 18. 02. 2013 18:13

↑ ((:-)):
takže po vykrácení a dosazení mi vyjde $\frac{0}{\sqrt{3}-3}$ a z toho plyne co ? .. =0 ?

jelena · 19. 02. 2013 00:54

↑ TerezaG:

Zdravím,

již včera jsem zaznamenala, že přidáváš další úlohy na limity do tohoto jednoho tématu - což v principu není problém, pokud si tak v tématu s kolegy naznačíte. Více reálné je, že takové téma už je pro ostatní nepřehledné.

Tedy v 1. limitě $\lim_{x\to-2+}\frac{x^3+8}{(x+2)^2}$ před vykrácením čitatele a jmenovatele (x+2) by Tobě mělo vycházet 0/0 - tak? Po vykrácení za použití užitečného vzorce v čitateli bys měla mít "nějaké pěkné číslo" - mně vyšlo 12), ale v jmenovateli představuješ si dosazování dosazuješ místo x číslo (-2) zpráva, což je pro představu -1,9999999. Tedy celý jmenovatel je "kladná 0". A výsledkem limity je +oo.

Stačí takové polopatické vysvětlení?

limita $\lim_{x\to\sqrt{3}}\frac{x^4-6x^2+9}{x^3-3x^2-3x+9}$ mi vyšla 0, jak jsi napsala po úpravě.

Příště už, prosím, každou úlohu do samostatného tématu viz pravidla. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2013 13:15

Limita funkce

#2 17. 02. 2013 13:22 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 13:24)

Re: Limita funkce

#3 17. 02. 2013 13:23

Re: Limita funkce

#4 17. 02. 2013 13:29

Re: Limita funkce

#5 17. 02. 2013 13:32

Re: Limita funkce

#6 17. 02. 2013 13:41 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 13:42)

Re: Limita funkce

#7 17. 02. 2013 13:45

Re: Limita funkce

#8 17. 02. 2013 14:41 — Editoval jarry7 (17. 02. 2013 14:42)

Re: Limita funkce

#9 17. 02. 2013 14:56

Re: Limita funkce

#10 17. 02. 2013 14:59 — Editoval jarry7 (17. 02. 2013 15:03)

Re: Limita funkce

#11 17. 02. 2013 15:11

Re: Limita funkce

#12 17. 02. 2013 15:14

Re: Limita funkce

#13 17. 02. 2013 15:21

Re: Limita funkce

#14 17. 02. 2013 16:22

Re: Limita funkce

#15 17. 02. 2013 16:43

Re: Limita funkce

#16 17. 02. 2013 16:50

Re: Limita funkce

#17 17. 02. 2013 16:52

Re: Limita funkce

#18 17. 02. 2013 16:58 — Editoval Freedy (17. 02. 2013 17:02)

Re: Limita funkce

#19 17. 02. 2013 17:04 — Editoval Bati (17. 02. 2013 17:04)

Re: Limita funkce

#20 17. 02. 2013 17:28

Re: Limita funkce

#21 18. 02. 2013 17:34

Re: Limita funkce

#22 18. 02. 2013 18:07 — Editoval ((:-)) (18. 02. 2013 18:08)

Re: Limita funkce

#23 18. 02. 2013 18:13

Re: Limita funkce

#24 19. 02. 2013 00:54

Re: Limita funkce

Zápatí