Matematické Fórum

polonium · 17. 02. 2013 10:56

Ahojte,

mám zadání
$f(x)=\frac{2\cdot log(x)-1}{1+log(x)}$
Zde wolfram
Mám učit zda je funkce prostá na D(f), pokud ano, tak určit její inverzní funci.
Postupoval jsem takto:
$f(x_1)=f(x_2)$
$\frac{2\cdot log(x_1)-1}{1+log(x_1)}=\frac{2\cdot log(x_2)-1}{1+log(x_2)}$
Vyšlo mi:
$3\cdot log(x_1)-1=2\cdot log(x_2)-1$

Můžu chápat tento výsledek tak, že funkce není prostá a nemám tak určovat inverzní funkci? Nebo inverzní funci učit můžu, ale musím jí omezit na nějaký interval?

Hanis · 17. 02. 2013 11:01

Ahoj,
ještě je tu možnost, že ti to vyšlo blbě.

martisek · 17. 02. 2013 11:20

↑ polonium:

Já jsem to nekontroloval, ale pokud to takto vychází, je funkce skutečně prostá, protože

$3\cdot log(x_1)-1=2\cdot log(x_2)-1$

$3\cdot log(x_1)-2\cdot log(x_2) = 0$

$\frac {x_1^3} {x_2^2}=1$

$x_1 = x_2$

polonium · 17. 02. 2013 11:47

Mno skutečně jsem to počítal špatně. Tady je správný postup:
$\frac{2\cdot \log x_1-1}{1+\log x_1}=\frac{2\cdot \log x_2-1}{1+\log x_2}$
$(2\cdot \log x_1-1)(1+\log x_2)=(2\cdot \log x_2-1)(1+\log x_1)$
$2\cdot \log x_1+2\cdot \log x_1\cdot \log x_2-1-\log x_2=2\cdot \log x_2+2\cdot \log x_2\cdot \log x_1-1-\log x_1$
$2\cdot \log x_1+\log x_1-1+1=2\cdot \log x_2+\log x_2+2\cdot \log x_2\cdot \log x_1-2\cdot \log x_1\cdot \log x_2$
$3\cdot \log x_1=3\cdot \log x_2$
$x_1=x_2$

Pak jsem ovšem nepochopil co je prostá funkce, myslel jsem, že je to funkce, která má pro jedno x právě jedno y.

((:-)) · 17. 02. 2013 12:34 — Editoval ((:-)) (17. 02. 2013 12:54)

↑ polonium:

myslel jsem, že je to funkce, která má pro jedno x právě jedno y

To je definícia f u n k c i e - že pre jedno x existuje práve jedno y.

Prostá funkcia je taká, že keď do jej predpisu dosadíš rôzne hodnoty x, vždy sa vypočítajú aj rôzne hodnoty y.

(Ty si napísal, že sa rovnajú funkčné hodnoty a vyšlo Ti, že sa musia rovnať aj dosadené hodnoty x. Nekontrolovala som postup.)

$y = x^2$ napríklad nie je prostá, lebo trebárs pre -1 vyjde rovnaká hodnota ako pre 1.

Ale funkcia to je, lebo každému x patrí jedna jediná hodnota y.

Hanis · 17. 02. 2013 12:44

S tou definicí funkce bych byl opatrný, je třeba zapracovat na definičním oboru.
(Log (x) je taky funkce na R, ale každému x nepřiřazuje právě jedno y - buď v definici použijeme nejvýše jedno, nebo zavedeme nějakou podmnožinu R, kterou nazveme definiční obor a pak můžeme použít spojku právě jedno.)

polonium · 17. 02. 2013 14:48

Ještě bych vás chtěl poprosit o jedno vysvětlení, a to právě funkce $x^2$ , když to budu chtít dokázat stejným způsobem jak bude vypadat postup řešení?

jarry7 · 17. 02. 2013 14:53

postup: nech x1 , x2 sú dve rôzne reálne čísla, a predpokladajme že f(x1)=f(x2). z toho vyplýva že
$x_{1}=\pm sqr(x_{2})$
ke´dže obe tieto hodnoty patria do R, funkcia y=x^2 nieje prostá

martisek

↑ polonium:

Funkce je prostá právě tehdy, když každému x, pro které je definována, přiřazuje právě jedno y. To znamená, že pro nějaká "dvě" x_1; x_2 mohu dostat stejné funční hodnoty jenom tehdy, když x_1 = x_2 (proto ten postup s logaritmickou funkcí). Jestliže f(x_1) = f(x_2) může nastat i pro x_1<>x_2, nejedná se o prostou funkci. Pro funkci f(x) = x^2 máme například x_1=-2; x_2=2: takže x_1<>x_2, ale f(x_1) = f(x_2)=4. Takže x^2 není prostá.

Doporučuji zkusit oba případy načrtnout.

((:-)) · 18. 02. 2013 23:43 — Editoval ((:-)) (18. 02. 2013 23:45)

↑ martisek:

Funkce je prostá právě tehdy, když každému x, pro které je definována, přiřazuje právě jedno y.

Táto veta nezodpovedá celkom realite, pokračovanie príspevku potom už asi áno.

Aj funkcia $y=x^2$ priraďuje každému x pre ktoré je definovaná práve jedno y ...

Nie je prostá, pretože sa dá veľmi jednoducho ukázať, že stačí dosadiť za x napríklad čísla 1 a -1 a pre obe sa vyráta (práve jedno) y, pre obe x rovnaké - a to y = 1.

Funkcia je prostá len v prípade, keď sa k rôznym hodnotám x vypočítajú aj rôzne hodnoty y.

Funkcia nemusí byť v celom D(f) prostá, môže sa stať, že je prostá iba na určitej časti D(f).

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2013 10:56

Důkaz prosté funkce

#2 17. 02. 2013 11:01

Re: Důkaz prosté funkce

#3 17. 02. 2013 11:20

Re: Důkaz prosté funkce

#4 17. 02. 2013 11:47

Re: Důkaz prosté funkce

#5 17. 02. 2013 12:34 — Editoval ((:-)) (17. 02. 2013 12:54)

Re: Důkaz prosté funkce

#6 17. 02. 2013 12:44

Re: Důkaz prosté funkce

#7 17. 02. 2013 14:48

Re: Důkaz prosté funkce

#8 17. 02. 2013 14:53

Re: Důkaz prosté funkce

#9 18. 02. 2013 22:30 — Editoval martisek (18. 02. 2013 22:31)

Re: Důkaz prosté funkce

#10 18. 02. 2013 23:43 — Editoval ((:-)) (18. 02. 2013 23:45)

Re: Důkaz prosté funkce

Zápatí