Matematické Fórum

Stenly1993 · 20. 02. 2013 17:53

Dobrý den nevím si vůbec s tým rady mohli by jste mě prosím pomoct děkuji :))

Průmyslový závod Z je vzdálen 5 km od silnice vedoucí do města M, přitom vzdálenost Z od M je 13 km. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat spojku k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Předpokládané náklady na 1 tunu na 1 km po silnici 5 Kč a po vybudované cestě 15 Kč.

Wellcosh

Úhel od kolmého směru označíš $\alpha$ (tedy pokud stavěná cesta bude kolmá na silnici, bude $\alpha = 0$ ). Pak délka vybudované cesty je $5 \over \cos \alpha$ , vzdálenost od křižovatky do města je $13 - 5 \mbox{tg }\alpha$ . Cena dopravy 1 tuny je potom
$f(\alpha) = 5 (13 - 5 \mbox{tg } \alpha) + 15 \left(5 \over \cos \alpha \right)$
Máš funkci jedné neznámé, stačí najít extrém.

Stenly1993 · 20. 02. 2013 18:08

↑ Wellcosh:

Myslíš že by jsi mě to mohl podrobně rozepsat moc tomu nerozumím diky moc :)) ale předem děkuji :)

Wellcosh · 20. 02. 2013 18:12

↑ Stenly1993: Co myslíš rozepsat? Jak se došlo k těm výrazům nebo jak se to derivuje?

Stenly1993 · 20. 02. 2013 18:14

↑ Wellcosh:

No celou tu úlohu rozepsat jestli máš čas :) a když ne tak to nech bejt

Arabela

Ahoj ↑ Stenly1993:,
skús si nakresliť pravouhlý trojuholník PZM s pravým uhlom pri vrchole P taký, aby dĺžka PZ bola 5 a dĺžka ZM bola 13. Niekde na úsečke PM (najlepšie bližšie k bodu P) si zvoľ bod R. Uhol PZR si označ $\alpha$ .
Tento obrázok modeluje reálnu situáciu popísanú v príklade.
PM je cesta vedúca do mesta M, PZ=5, ZM=13.Na základe Pytagorovej vety si môžeme vypočítať PM=13.
Označme si dalej PR=x a ZR=y.
A teraz uvažujme. Čo má byť extrémne (minimálne)? Náklady. Vyjadrime teda "nákladovú funkciu":
N=15y+5(12-x) = 15y-5x+60.
Ako vidíme, je to funkcia dvoch premenných, x a y.Mohli by sme si ju vyjadriť ako funkciu jednej premennej, napríklad x (využijúc Pytagorovu vetu na trojuholník PZR), hľadať extrém pre hodnotu x a potom dopočítať alfa. Iná možnosť je vyjadriť nákladovú funkciu ako funkciu premennej alfa. Stačí využiť $\text{tg}\alpha =\frac{x}{5}$ , odtiaľ $x=5\text{tg}\alpha$ a $\cos \alpha =\frac{5}{y}$ , odkiaľ $y=\frac{5}{\cos \alpha }$ .

Stenly1993 · 20. 02. 2013 18:37

↑ Arabela:

Můžem dál akurát jak počítáš podle pythagor. věty to PM není to 12 ?

Arabela · 20. 02. 2013 18:40

↑ Stenly1993:áno, je to 12.
No a ďalej potom $N=15.\frac{5}{\cos \alpha }+60-5.5\text{tg}\alpha$ , no a to je tá funkcia, ako písal Wellcosh.

Stenly1993 · 20. 02. 2013 18:49

↑ Arabela:

a chtěl bych se zeptat jakej bude vysledek a jestli si z toho vzorca vyjádříš Cos ?

Arabela

↑ Stenly1993:
Chceme zistiťb extrém funkcie $N=f(\alpha )$ , preto túto funkciu budeme derivovať podľa premennej alfa.
$f(\alpha )=75.(\cos \alpha )^{-1}+60-25\text{tg}\alpha$
$f'(\alpha )=75.((\cos \alpha )^{-1})' +0 -25.(\text{tg}\alpha )'$ =
$=75(-1)(\cos \alpha )^{-2}.(-\sin \alpha ) - 25.\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$ =
$=\frac{75\sin \alpha }{\cos ^{2}\alpha }-\frac{25}{\cos ^{2}\alpha }$
Položíš rovné nule, prenásobíč menovateľom a dostaneš
$\sin \alpha =\frac{1}{3}$ ,
$\alpha \doteq 19,47122^\circ \doteq 19^\circ 28'16''$

Stenly1993 · 20. 02. 2013 18:55

[re]p343512|Arabela

a nechceš mě to rozepsat + výsledek prosím jestli chceš aji s tou derivací + výsledek jestli se ti chce ale jinak jsi mě hodně pomohla děkuju moc :)

Arabela · 20. 02. 2013 19:05

↑ Stenly1993:
máš to aj s výsledkom...

Stenly1993 · 20. 02. 2013 19:07

↑ Arabela:

Děkuji za všechno :))

Stenly1993 · 20. 02. 2013 19:23

↑ Stenly1993:

Chtěl bych se zeptat jak tam rozepisuješ to N = 15y tak těch 15y vezmeš kde to je moje poslední otázka dik moc :))

Arabela · 20. 02. 2013 19:32

↑ Stenly1993:
to je v pohode...:)
Trasa bude lomená úsečka ZRM. Preprava po úseku ZR je drahšia ako po úseku RM (napríklad kvôli nákladom na výstavbu cesty). Jazda po úseku ZR "stojí" 15Kč na 1km, takže 15y na y km a jazda po úseku RM stojí 5Kč na 1 km, čiže 5(12-x) na (12-x)km. Jasné?

Stenly1993 · 20. 02. 2013 19:34

↑ Arabela:

už chápu diky moc :))

Stenly1993 · 20. 02. 2013 19:47

↑ Stenly1993:

ještě bych se chtěl zeptat jestli by jste mě tu mohla dat ten obrázek jak to mám byt načrtli já to mám ale nejsu si jistej jde mě o známku ve škole děkuju moc :)

Arabela · 20. 02. 2013 20:23

↑ Stenly1993:

[c:\a\Picture 8.jpg]

Stenly1993 · 20. 02. 2013 20:26

↑ Arabela:

Co to je za adresu ?

Arabela

↑ Stenly1993:

ten pravý uhol sa mi veľmi nevydaril (kamera skreslila), Ty si urob lepší obrázok...:) A ešte si pripíš hodnotu 5 ku strane PZ...

Stenly1993 · 20. 02. 2013 20:36

↑ Arabela:

Děkuji měj se pěkně :)

Arabela · 20. 02. 2013 20:41

↑ Stenly1993:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Elisa · 09. 03. 2016 22:49

Dobrý den, kde mám prosím chybu? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/60172_0903201610598_1.jpg

Jj · 10. 03. 2016 19:07 — Editoval Jj (10. 03. 2016 21:06)

↑ Elisa:

Dobrý den.

Řekl bych, že

1. Překlep při sestavení funkce y = f(alfa):

$y=15\, \frac{5}{\cos \alpha}+5\,(12-5\,\text{tg }\alpha)=75\,\frac{1}{\cos \alpha}+60-25\,\text{tg }\alpha$

2. Nesprávná derivace prvního výrazu ve fukci y = f(alfa) --> (1/cos alpha) derivovat jako podíl:

$y'=75\,\frac{\sin \alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{25}{\cos^2\alpha}$

Ted už by to mělo vyjít.

Elisa · 13. 03. 2016 14:53

↑ Jj:
Děkuji, vyšlo mi to sin $\alpha$ =1/3 a správný výsledek má být $\cos \alpha =\frac{1}{3}$
vynásobila jsem pak derivaci = 0 $\cos^{2}\alpha$ a zbyl jen sinus, co je na tom prosím špatně? Díky

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2013 17:53

Užití diferenciálního počtu

#2 20. 02. 2013 18:04 — Editoval Wellcosh (20. 02. 2013 18:05)

Re: Užití diferenciálního počtu

#3 20. 02. 2013 18:08

Re: Užití diferenciálního počtu

#4 20. 02. 2013 18:12

Re: Užití diferenciálního počtu

#5 20. 02. 2013 18:14

Re: Užití diferenciálního počtu

#6 20. 02. 2013 18:26 — Editoval Arabela (20. 02. 2013 18:38)

Re: Užití diferenciálního počtu

#7 20. 02. 2013 18:37

Re: Užití diferenciálního počtu

#8 20. 02. 2013 18:40

Re: Užití diferenciálního počtu

#9 20. 02. 2013 18:49

Re: Užití diferenciálního počtu

#10 20. 02. 2013 18:50 — Editoval Arabela (20. 02. 2013 19:02)

Re: Užití diferenciálního počtu

#11 20. 02. 2013 18:55

Re: Užití diferenciálního počtu

#12 20. 02. 2013 19:05

Re: Užití diferenciálního počtu

#13 20. 02. 2013 19:07

Re: Užití diferenciálního počtu

#14 20. 02. 2013 19:23

Re: Užití diferenciálního počtu

#15 20. 02. 2013 19:32

Re: Užití diferenciálního počtu

#16 20. 02. 2013 19:34

Re: Užití diferenciálního počtu

#17 20. 02. 2013 19:47

Re: Užití diferenciálního počtu

#18 20. 02. 2013 20:23

Re: Užití diferenciálního počtu

#19 20. 02. 2013 20:26

Re: Užití diferenciálního počtu

#20 20. 02. 2013 20:29 — Editoval Arabela (20. 02. 2013 20:38)

Re: Užití diferenciálního počtu

#21 20. 02. 2013 20:36

Re: Užití diferenciálního počtu

#22 20. 02. 2013 20:41

Re: Užití diferenciálního počtu

#23 09. 03. 2016 22:49

Re: Užití diferenciálního počtu

#24 10. 03. 2016 19:07 — Editoval Jj (10. 03. 2016 21:06)

Re: Užití diferenciálního počtu

#25 13. 03. 2016 14:53

Re: Užití diferenciálního počtu

Zápatí