Matematické Fórum

Akcope · 25. 02. 2013 19:54

Zdravím, normálně mi postup počítání integrálů ukazuje WolframAlpha, bohužel ale pro zavádí pro obrácenou hodnotu trigonometrických funkci funkce sekans a kosekans (Které my zavedené nemáme) a to mě mate. Prosil bych tedy o pomoc s řešením následujícího integrálu. Hodím sem i svůj postup, ale mám pocit, že to je blbost.

$\int_{}^{}\sqrt{x^{2}-1}dx$ = (substituce) $|x=\frac{1}{\cos ^{2}t}, dx=\frac{\sin t}{\cos ^{2}t}|$ = $\int_{}^{}\sqrt{\frac{1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}} \frac{\text{tg}t}{\cos t}dt$ = $\int_{}^{}\sqrt{\frac{\sin ^{2}t}{\cos ^{2}t}}\frac{\text{tg}t}{\cos t}dt$ = $\int_{}^{}\sqrt{\text{tg}^{2}t}\frac{\text{tg}t}{\cos t}dt$

Odtuď už vůbec nevím, jak dál. Rady by byly vítány. Díky :)

martisek · 25. 02. 2013 21:18

↑ Akcope:

Substituce (dx=) je špatně. Zkuste x=sint nebo x= cos t.

Akcope · 25. 02. 2013 21:28

↑ martisek:

Teď koukám že jsem tu substituci v latexu špatně napsal, správně by to mělo být $x=\frac{1}{\cos t}$

Bylo nám na cvičení řečeno, že substituce je třeba zavádět podle vztahu pod odmocninou, a to konkrétně

$\sqrt{a^{2}-x^{2}}: x=a\sin t$
$\sqrt{a^{2}+x^{2}}: x=a\text{tg} t$
$\sqrt{x^{2}-a^{2}}: x=\frac{a}{\cos t}$

I wolfram zavádí substituci sec(u), což se až na ten překlep rovná mé substituci. Za překlep se omlouvám, ale myslím že je dále třeba pokračovat s touto substitucí.

Brano · 25. 02. 2013 21:31 — Editoval Brano (25. 02. 2013 21:34)

Substitucia $x=\frac{1}{\cos t}$ nie je velmi stastna, lebo sa tam treba dost babrat s definicnymi obormi. Radsej by som odporucil bud hyperbolicku $x=\cosh t$ alebo Eulerovu $\sqrt{x^2-1}=t-x$ .

Ak to chces robit cez $x=\frac{1}{\cos t}$ , tak odporucam MAW.

Akcope · 25. 02. 2013 21:39

↑ Brano:

Díky moc, nevěděl jsem že existuje takovýhle nástroj. Mrknu na to a kdyžtak dám ještě zítra vědět.

martisek

↑ Akcope:

Teď už je to sice dobře, ale jak říká ↑ Brano:, dost nešikovně. Eulerova je sice možná, ale myslím, že v tomto případě není nutná.

$\int\sqrt{x^2-1}dx= [ x=\sin t ; dx=\cos t dt ] =\int\sqrt{\sin^2 t-1}\cos t dt=\int \cos^2 tdt$

a použít vzoreček pro poloviční argument, kde tím polovičním argumentem je t.

Brano · 25. 02. 2013 22:09 — Editoval Brano (25. 02. 2013 22:17)

Este je jeden postup cez per partes
$I=\int\sqrt{x^2-1}dx=\begin{bmatrix}u'=1&u=x\\v=\sqrt{x^2-1}&v'=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\end{bmatrix}=$
$=x\sqrt{x^2-1}-\int\frac{x^2(-1+1)}{\sqrt{x^2-1}}dx=x\sqrt{x^2-1}-I-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$
teraz sa pouzije znamy vzorec (, ktory sa da odvodit cez Eulerovu substituciu :-)
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
a dostaneme
$2I=x\sqrt{x^2-1}-\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
Predeli sa $2$ a je to.

Brano · 25. 02. 2013 22:11 — Editoval Brano (25. 02. 2013 22:20)

↑ martisek:
Toto nie je dobre lebo $\sqrt{\sin^2t-1}=\sqrt{-\cos^2t}=i\cos t$ ale kedze musi byt $|x|>1$ tak $t$ by potom malo byt rydzo imaginarne a takto dalej by som asi nepokracoval.

martisek · 26. 02. 2013 11:15

↑ Brano:

To i jsem tam, pravda, zapomněl, ale ani pak to není těžké. Je ale fakt, že do komplexní proměnné asi nebudeme chodit,. Škoda - tam je hromada věcí daleko jednodušší - např. x sin x se nemusí integrovat per partes (natož dvakrát) a výsledek se dá říct prakticky zpaměti. K per partes jenom poznámku - v té Eulerově substituci asi chybí dvojky.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2013 19:54

Integrál s trigonometrickou substitucí

#2 25. 02. 2013 21:18

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#3 25. 02. 2013 21:28

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#4 25. 02. 2013 21:31 — Editoval Brano (25. 02. 2013 21:34)

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#5 25. 02. 2013 21:39

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#6 25. 02. 2013 21:45 — Editoval martisek (25. 02. 2013 21:48)

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#7 25. 02. 2013 22:09 — Editoval Brano (25. 02. 2013 22:17)

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#8 25. 02. 2013 22:11 — Editoval Brano (25. 02. 2013 22:20)

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

#9 26. 02. 2013 11:15

Re: Integrál s trigonometrickou substitucí

Zápatí