Matematické Fórum

domorodec_lk

ahoj všem.

mám limity s goniometrickou funkcí:
1. $\lim_{x\to0}(x^{-1}tg(\pi x))$
2. $\lim_{x\to\pi }\frac{x-\pi }{(sinx)^{3}}$

u toho prvního jsem postupoval takto:
$\lim_{x\to0}(x^{-1}tg(\pi x))\Rightarrow \frac{1}{x}\cdot \frac{tg(\pi x)}{1}\Rightarrow \frac{tg(\pi x)}{x}$

jak se zbaivt toho $\pi$ ? lze prostě jen tvrdit, že $\lim_{x\to0}\frac{tg}{x}=1$ a tudíž zbyde jen to $\pi$ , nebo musím provést jinou operaci.

a u druhého případu si nevím rady vůbec. předně když se $\lim_{x\to\pi }$

martisek · 05. 03. 2013 10:10

↑ domorodec_lk:

V obou případech pomůže l'Hospitalovo pravidlo

domorodec_lk · 05. 03. 2013 11:17

↑ domorodec_lk:

ještě mě napadlo použití substituce: $\lim_{x\to0}(x^{-1}tg(\pi x))\Rightarrow \frac{1}{x}\cdot \frac{tg(\pi x)}{1}\Rightarrow \frac{tg(\pi x)}{x}$

nejdříve bych limitu rozšířil: $\lim_{x\to0} \frac{tg(\pi x)}{x}\cdot \frac{\pi}{\pi} \Rightarrow \frac{\pi tg(\pi x)}{\pi x}$

a potom za ${\pi x}$ dosadím ${x}$ a následně takto:
$\lim_{x\to0} \pi \frac{tgx}{x} \Rightarrow \pi \cdot 1\Rightarrow \pi$

Bati · 05. 03. 2013 12:29

↑ domorodec_lk:
Ano, to je i podle mě mnohem lepší postup, než to derivovat - výsledek je vidět hned.

Bati · 05. 03. 2013 12:38

A ten druhý příklad lze také dělat substitucí $y=x-\pi$ , potom tam vznikne $\frac{y}{\sin^3(y+\pi)}=\frac{-y}{\sin^3{y}}=\frac{1}{\frac{\sin{y}}{y}}\cdot\frac{-1}{\sin^2{y}}\to-\infty$ , protože když posunu sinusoidu o pi, tak je to to samé, jako bych ji překlopil.

domorodec_lk · 05. 03. 2013 12:42

↑ Bati:

tak to jsem rád, že jsem na to přišel a že je to tedy v pořádku. alespoň předpokládám.

mohl bych ještě poprosit o radu s touto limitou? respektive s limitami tohoto typu. nějak na to nemohu přijít. předpokládám, že je to jednoduchý, ale nedaří se.

$\lim_{x\to\pi }\frac{x-\pi }{(sinx)^{3}}$

Bati · 05. 03. 2013 12:48

↑ domorodec_lk:
Možná jsi přehlídl ten můj předchozí příspěvek, ale obecný postup u takovýchto limit je takový, že buď rovnou ověříš předpoklady l'Hospitala a derivuješ, nebo si to právě nějakou jednoduchou substitucí převedeš na limitu v bodě nula, pro který máme všechny ty známé limity a nějak to upočítáš. To nemusí jít vždy - takový nejmenší protipříklad je limita $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}-x}{x^3}$ . Takže pokud to vypadá složitě, je lepší rovnou derivovat, nebo použít Taylorovy rozvoje goniometrických funkcí, což bývá rychlejší.

domorodec_lk

↑ Bati:

substituce se zdá jako dobrý nápad. ale nějak jsem nepochopil, kde se potom vzalo $\frac{-y}{\sin^3{y}}$ to vznike tím posunutí o $\pi$ ? jestli ano, tak to si budu muset namalovat, abych si to ujasnil.

předchozí příspěvek jsem nepřehlíd. jen se můj delší dobu odesílal. prostě byl pomalejší

Bati · 05. 03. 2013 12:54 — Editoval Bati (05. 03. 2013 13:03)

↑ domorodec_lk:
Ano, ten mínus vznikne právě tím posunutím. Ať je to sinus nebo kosinus, obě funkce dělají stejné kopečky délky pí, akorát jeden kopeček je vždy nad osou a druhý pod osou, takže když to na nějakou stranu posunu o pí, tak se ty kopečky akorát prohodí - to znamená, že ta funkce se vynásobí mínusem. Takové úvahy je třeba dobře zvládat u těchto limit. Z obrázku, nebo z jednotkové kružnice je to vidět hned.
Ono vlastně ale takových úvah není moc - myslím, že si v pohodě vystačíš, když budeš znát následující věci:
$\sin(x+2k\pi)=\sin{x}\nl \cos(x+2k\pi)=\cos{x}\nl \sin(x\pm\pi)=-\sin{x}\nl \cos(x\pm\pi)=-\cos{x}\nl \sin(-x)=-\sin{x}\nl \cos(-x)=\cos{x}\nl \sin$\frac{\pi}2-x$=\cos{x}\nl \cos$\frac{\pi}2-x$=\sin{x}$

Plus všechny sčítací vzorce gon. fce a pro poloviční argumenty.

domorodec_lk · 05. 03. 2013 12:58

↑ Bati:

takové úvahy bych zvládal, ale ještě je nedokážu tak rychle použít. pokud nemá ještě někdo něco, uzavřel bych téma jako vyřešené.

domorodec_lk · 05. 03. 2013 15:52

↑ domorodec_lk:

měl bych ještě jeden upřesňující dotaz. jak se dospělo k tomuto? $\frac{-1}{\sin^2{y}}\to-\infty$

jelena · 05. 03. 2013 23:01

↑ domorodec_lk:

Zdravím,

uvažovala bych limitu ${\sin^2{y}}$ zleva a zprava od 0 - co vychází? Děkuji.

domorodec_lk · 06. 03. 2013 06:42

↑ jelena:

mno, v obou případech vychází mínus velikánské číslo, respektive $-\infty$ vůbec jsem si neuvědomil, že se uvažuje limita blížící se k nule.

jestli chápu správně, pro počítání limit, kde se $\lim_{x\to\pi }$ , lze místo $\pi$ uvažovat nulu? nebo uvažovat nulu teprve po provedení substituce. přiznám se, že kkonkrétně tyto případy mi nevycházejí správně.

jelena · 06. 03. 2013 16:36

↑ domorodec_lk:

Zdravím,

ano - kolega Bati v ↑ příspěvku 5: nejdřív provedl substituci tak, aby se dál použit vzorec, po substituci nová proměnná $y$ se blíží 0.

jestli chápu správně, pro počítání limit, kde se $\lim_{x\to\pi }$ , lze místo $\pi$ uvažovat nulu? nebo uvažovat nulu teprve po provedení substituce.

určitě uvažovat 0 až po substituci - přesně "provést substituci tak", abys mohl vzorec použit "v plném rozsahu" (nejde použit pro $\lim_{x\to\pi }$ , ale pro $\lim_{y\to 0 }$ ).

domorodec_lk · 07. 03. 2013 06:33

↑ jelena:

včera večer jsem se ještě koukal na tu substituci a hledal jsem i na netu. Z toho co jsem se dočetl jsem si dovodil, že pokud substituji ve vzorci, musím stejným postupem substituovat $\lim_{x\to cislo}$

tedy příklad:
$\lim_{x\to2} \frac{3x^{2} + 26}{3x^{2}-12}$
pokud se chci zbavit ${3x^{2}}$ pomocí substituce, udělal bych to takto:
substituce $y={3x^{2}}$
z toho plyne toto:
$\lim_{y\to12} \frac{y + 26}{y-12}$

ta 12 pod lim se mi substituovala ze vzorce, který jsem nahradil substitucí, tedy:
$y={3x^{2}}=3\cdot 2^{2}=12$

je to jenom ukázka pochopení substituce. samozřejmě že při počítání této limity bych postupoval takto:
substituce $y={3x^{2}-12}$
$\lim_{y\to0} \frac{y + 38}{y}$
a protože funkce není spojitá v bodě 0, počítal bych limitu zleva a zprava. a vyšlo by $\pm\infty$

Bati · 07. 03. 2013 09:34

↑ domorodec_lk:
Tady pozor. Sice jsi správně přišel na to, jak najít nový limitní bod po substituci, ale samotná substituce u limit obecně nefunguje. Nelze prostě vzít libovolnou část limity, která se v ní opakuje, a tu nahradit proměnnou, která konverguje ke stejnému bodu. Substituce v limitě je vlastně aplikace věty o limitě složené funkce a tato věta má nějaké předpoklady. Konkrétně je to podmínka (S) spojitosti vnější funkce v daném bodě, nebo druhá podmínka (P) že daného bodu vnitřní funkce nikdy nenabývá na nějakém prstencovém okolí. Pro lineární substituci a spoustu dalších je tato (P) podmínka automaticky splněna, takže to opravdu vypadá, jako bychom normálně substituovali, ale obecně to tak být nemusí.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2013 09:51 — Editoval domorodec_lk (05. 03. 2013 09:52)

limita s goniometrickou funkcí

#2 05. 03. 2013 10:10

Re: limita s goniometrickou funkcí

#3 05. 03. 2013 11:17

Re: limita s goniometrickou funkcí

#4 05. 03. 2013 12:29

Re: limita s goniometrickou funkcí

#5 05. 03. 2013 12:38

Re: limita s goniometrickou funkcí

#6 05. 03. 2013 12:42

Re: limita s goniometrickou funkcí

#7 05. 03. 2013 12:48

Re: limita s goniometrickou funkcí

#8 05. 03. 2013 12:49 — Editoval domorodec_lk (05. 03. 2013 12:51)

Re: limita s goniometrickou funkcí

#9 05. 03. 2013 12:54 — Editoval Bati (05. 03. 2013 13:03)

Re: limita s goniometrickou funkcí

#10 05. 03. 2013 12:58

Re: limita s goniometrickou funkcí

#11 05. 03. 2013 15:52

Re: limita s goniometrickou funkcí

#12 05. 03. 2013 23:01

Re: limita s goniometrickou funkcí

#13 06. 03. 2013 06:42

Re: limita s goniometrickou funkcí

#14 06. 03. 2013 16:36

Re: limita s goniometrickou funkcí

#15 07. 03. 2013 06:33

Re: limita s goniometrickou funkcí

#16 07. 03. 2013 09:34

Re: limita s goniometrickou funkcí

Zápatí