Matematické Fórum

passinhoo

Dobrý podvečer.

Potřebuji radu, jak vypočítat polohu těžiště plochy pod sinusem a pod parabolou
a jak to samé zjistím jen pro polovinu každého obrazce.

Souřadnicový systém jsem zvolil od leva - vodorovně směr X a kolmo směr Y.

předem děkuju

kaja.marik · 22. 12. 2008 21:32

souradnicovy system na obrazcich nevidim

jsou na to vzorce (dvojny integral), znate je?

passinhoo · 23. 12. 2008 12:44

Dvojné integrály počítat trochu umím, ale ty vzorce, podle kterých bych integrál sestavil neznám.

passinhoo

Jde mi o to zjistit, jakými křivkami je vymezen tvar plochy.

když začnu tou parabolou, tak:

první křivka je : z=0
a druhá je z=? $z = 15 -\frac{x^2}{60}$ takhle?

passinhoo · 25. 12. 2008 12:46

Prosím, je to pro mě moc důležité...

jelena · 25. 12. 2008 23:39 — Editoval jelena (26. 12. 2008 10:53)

↑ passinhoo:

Zdravím :-)

Funkce z - pravděpodobně překlep. Jsou zadany funkce y=f(x) a zápisy pro jednotlivé funkce jste vyřešili tady:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5561

Pro polohu těžiště (souřádnice T_x, T_y) bych použila vzorce: http://www.fch.vutbr.cz/~polcerova/mat1 … likace.pdf - str. 2.

Pro výpočet dle vzorce je potřeba vypočítat statický moment a obsah plochy na obrázku, (vzorce pro výpočty jsou uvedeny v odkazu):

Poznámka: dodržím označení intervalů, jak jsi zvolil (od 0....), já bych použila označení intervalů tak, aby osa y byla zárověň osou symetrie, ale to není tak podstatné.

obrázek 1 je omezen funkci y=f(x) $y=15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)$ a osou x (y=0) v intervalu x_1=0, x_2 = 31,4

obrázek 2 je omezen funkci y=f(x) $y = x -\frac{x^2}{60}$ a osou x (y=0) v intervalu x_1=0, x_2 = 60

Editace: obrázek 2 je omezen funkci y=f(x) $y = 15 -\frac{x^2}{60}$ a osou x (y=0) v intervalu x_1=-30, x_2 = 30 - to je závěr z příspěvku http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5561 kde souřádnice jsou jinak (0 je ve středu paraboly).

Souřadnici T_x není nutné počítat pomocí vzorce - jelikož je obrázek osově symetrický, těžiště leží na osě a jeho souřádnice bude 31,4/2 (pro 1. obr.) a 60/2 (pro 2. obr.)

Pro polovinu obrázku se změní pouze omezení po ose x.

Pokud máš v plánu používat dvojný integral, tak všechno platí, co se týče ohraničení obrázků (jsou to obrázky "prvního druhu" - pokud toto označení užívate).

OK?

passinhoo · 26. 12. 2008 02:23

↑ jelena:

Mockrat dekuji, ze jste mi pomohla.
Uz na tom pracuju.

Jen mi porad nejde do hlavy, jak zjistim podle toho obrazku tu rovnici y=f(x).
Jde o to, kdyz budu pocitat teziste pro plochu pod sinusem - jen pro jednu polovinu (viz.obrazek), tak jak bude znit ta rovnice?

u te paraboly bych nechal rovnici stejnou $y = 15 -\frac{x^2}{60}$ pouze s tím, že by se integrovalo od 0 do 30. Je to tak?

Vim, ze bych mel tohle uz davno znat, ale neznam :-(((

jelena · 26. 12. 2008 11:00 — Editoval jelena (26. 12. 2008 11:04)

↑ passinhoo:

Zdravím :-)

Rovnice křívky, která omezuje obrázek je pořád stejná, pouze měníme meze x_1 nebo x_2.

Pro výpočet "levé poloviny sin" máme x_1=0, x_2=15,7 (lepší by byl násobek pí, ale tak nemáte zadáno, tak to bude přibližný výpočet.

Ještě se podívej na předchozí můj příspěvek - editovala jsem rovnici pro parabolu (v jiném tématu, kde jste řešili obsahy, kolega rughar volil souradnice tak, že osa paraboly procházela počátkem souřadnic. Ty máš v plánu mít souřadnice v bode (0,0) a pravou souřádnici bodu (60, 0) - proto i zápis funkce má být jiný.

Platí: obrázek 2 je omezen funkci y=f(x) $y = x -\frac{x^2}{60}$ a osou x (y=0) v intervalu x_1=0, x_2 = 60

OK?

passinhoo

OK :-)
Proto mi to porad nevychazelo, nevedel jsem ze je zvolen sourad. system od prostredka...
...
Zacal jsem pocitat STATICKY MOMENT a vyslo mi to vazne silene... udelal jsem nekde chybu?

$Sy=\int\int_{S}^{}x\ dS=\int_{x_1}^{x_2}\Big(\int_{y=0}^{x-\frac{x^2}{60}}x\ dy\Big)\ dx=\int_{0}^{30}\Big(\int_{y=0}^{x-\frac{x^2}{60}}x\ dy\Big)\ dx=\int_{0}^{30}\Big[xy\Big]_0^{x-\frac{x^2}{60}}dx=\int_{0}^{30}x\ \Big({x-\frac{x^2}{60}}\Big)-x.0\ dx=\Big[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4.60}\Big]_0^{30}=\frac{30^3}{3}-\frac{30^4}{4.60}=5625mm^3$

edit: Tak nakonec dobry. Myslim, ze to je spravne :-)

passinhoo · 26. 12. 2008 14:41

Můžeš mi ještě prosím vysvětlit jak jsme dostali z té 15ky po integraci těch 150?

$y=15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)$

$\int_{0}^{31,4}15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)\ dx=\Big[-150\cos (\frac{x}{10})\Big]_0^{31,4}= 300$

Takže pro polovinu sinusove plochy:

by se to pocitalo takto?

$\int_{0}^{15,7}15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)\ dx$

jelena · 26. 12. 2008 15:43

↑ passinhoo:

$\int_{0}^{15,7}15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)\ dx$ - to je pro výpočet obsahu plochy pod křívkou (jinak ten obsah poloviční plochy dostaneš dělením původního obsahu dvěma)

$\int15\cdot \sin \Big(\frac{x}{10}\Big)\ dx=15\int10\sin t\ dt=150\int\sin t\ dt$

substituce

x/10 = t
dx/10 = dt
dx = 10 dt

OK?

passinhoo · 26. 12. 2008 19:01

↑ jelena:

Uz je mi to jasny...
Tak super... semestralku mam z 90% hotovou.
Diky moc! Hlavne Jelene.

Jeste se mozna ozvu :-)

jelena · 26. 12. 2008 19:35

↑ passinhoo:

Určitě se ozví :-)

Ale poděkování patří hlavně kolegům ttopi, rughar, halogan, BrozekP (snad jsem nikoho nevynechala), já jen prezentuji jejich výsledky. A také ↑ kaja.marik:, který vyslovil "dvojný integrál" :-)

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2008 16:53 — Editoval passinhoo (23. 12. 2008 12:42)

Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#2 22. 12. 2008 21:32

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#3 23. 12. 2008 12:44

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#4 23. 12. 2008 20:52 — Editoval passinhoo (23. 12. 2008 20:54)

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#5 25. 12. 2008 12:46

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#6 25. 12. 2008 23:39 — Editoval jelena (26. 12. 2008 10:53)

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#7 26. 12. 2008 02:23

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#8 26. 12. 2008 11:00 — Editoval jelena (26. 12. 2008 11:04)

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#9 26. 12. 2008 13:40 — Editoval passinhoo (26. 12. 2008 14:17)

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#10 26. 12. 2008 14:41

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#11 26. 12. 2008 15:43

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#12 26. 12. 2008 19:01

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

#13 26. 12. 2008 19:35

Re: Výpočet těžiště plochy pod funkcí sinus a pod parabolou

Zápatí