Matematické Fórum

Cesnek · 06. 03. 2013 16:11

Prosím někoho šikovného o radu, v tomto:

Zkouška má 20 otázek z nichž se losují 2. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět?
$n = C_{2}(20) = 190$ , $m^\prime= C_{2} (13) = 78$ , $m = 112$ , $P (A) = 0,589$

Může mi někdo vysvětlit, těch 190 ?

Děkuji

Cesnek · 06. 03. 2013 16:13

↑ Cesnek:

Nějak se mi nezobrazuje latex. text, proto napíšu znova sem:

n = C 2 (20)= 190; m´= C 2 (13) = 78, m = 112, P (A) = 0,589

zdenek1 · 06. 03. 2013 17:21

↑ Cesnek:
$n=C_2(20)=\frac{20!}{2!18!}=\frac{20\cdot19}2=190$
To je počet všech možný různých dvojic otázek, které si může vytáhnout

Cesnek · 06. 03. 2013 19:32

↑ zdenek1:

Omlouvám se, ale pořád to nějak nechápu. Můžu ještě poprosit, jak mám přijít na ten zbytek? Předem díky.

Arabela · 06. 03. 2013 20:13

Ahoj ↑ Cesnek:,
ako píše kolega Zdenek, všetkých možností je
$C_{2}(20)={20\choose 2}= \frac{20.19}{2}=190$ .
Ide o výpočet kombinačných čísel. Je možné postupovať podľa vzorca s faktoriálmi ${n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , alebo "prakticky":
v čitateli začneš s tým n, násobíš o jedna menším, a tak pokračuješ dovtedy, kým v čitateli nebudeš mať k činiteľov; no a v menovateli delíš k! (v našom prípade 2!=2).
Keď bude výpočet kombinačných čísel jasný, povieme si aj ďalej k tomuto príkladu... OK?

Cesnek · 06. 03. 2013 20:26

Arabela, když dosadím do vzorce: ${n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$

tak to je:

${n\choose k}= \frac{20!}{2!(20-2)!}$

vychází mi:190 , už chápu. Vychází mi to i s tím druhým výpočtem tj. 20 * 19 / 2. Ale nevím, jak logicky přijít na těch 78.

Vypočíst to už není tak těžké, ale logicky přijít na to, co dosadit je horší. :-(

Arabela · 06. 03. 2013 20:56

↑ Cesnek:OK...
Takže ideme na toho čitaleľa. Treba si uvedomiť, že k výsledku sa môžeme dopracovať PRIAMO alebo NEPRIAMO.
Ten Tvoj výpočet je nepriamy, ale ja uvediem oba.
a) PRIAMO
$P(A)= \frac{m}{n}$
n... počet všetkých možností (v našom prípade počet všetkých neusporiadaných dvojíc vyberaných z 20 prvkov)
m... počet priaznivých možností; v našom prípade ide o to, vedieť aspoň jednu z otázok - čo znamená vedieť práve jednu alebo práve dve otázky
$P(A)= \frac{{7\choose 1}{13\choose 1}+{7\choose 2}}{{20\choose 2}}=\frac{112}{190}\doteq 0,5895$
b) NEPRIAMO
Skúmajme "doplnkovú" pravdepodobnosť - t.j. namiesto javu "aspoň jednu bude vedieť" skúmajme opačný jav "žiadnu nebude vedieť)
$P(B')=\frac{{13\choose 2}}{{20\choose 2}}=\frac{78}{190}$
$P(B)=1-P(B')=1-\frac{78}{190}=\frac{112}{190}$