Matematické Fórum

Flaky · 08. 03. 2013 19:33

Dobrý den, potřeboval bych poradit s následující úlohou respektive se vztahem mezi poloměrem kružnice vepsané pravoúhlému trojúhelníku a jeho stranou.

Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Určete délky stran, obvod a obsah trojúhelníku, je-li poloměr kružnice vepsané r = 10 cm.

Arabela · 08. 03. 2013 19:47

Ahoj ↑ Flaky:,
strany trojuholníka nech majú dĺžky b-d, b, b+d (d je diferencia aritmetickej postupnosti).
Platí Pytagorova veta
$(b-d)^{2}+b^{2}=(b+d)^{2}$ , po úpravách
$b^{2}-4bd=0$ ,
$b(b-4d)=0$ ,
$b=0 \vee b=4d$ .
Takže b=4d.
V ďalšom je možné využiť vzorec pre polomer kružnice vpísanej do pravouhlého trojuholníka
$r=\frac{a+b-c}{2}$ ,
po dosadení a=b-d, c=b+d
$r=\frac{b-2d}{2}$ .
ďalej budeš vedieť?

Flaky · 08. 03. 2013 20:03 — Editoval Flaky (08. 03. 2013 20:17)

↑ Arabela:

strany pak vyjdou a=30 , b=40, c=50 ?

Arabela · 08. 03. 2013 20:17

↑ Flaky:
áno, presne tak...:)

Flaky · 08. 03. 2013 20:19

↑ Arabela:

dobře děkuju mě hlavně šlo o ten vztah pro ten poloměr ró, protože jsem ho ani v jedněch mých tabulkách nenašel :)

Arabela · 08. 03. 2013 20:26

↑ Flaky:
ten vzťah sa odvodí celkom jednoducho; a mne sa už párkrát hodilo, že som si ho pamätala.
Odvodenie: Dotykové body vpísanej kružnice rozdelia stranu c na úseky x,y; stranu a na y, ro; stranu b na ro, x (to s tým ro sa ľahko nahliadne).
Takže
2x+2y+2ro=a+b+c
2(x+y)+2ro=a+b+c
2c + 2ro=a+b+c

ďalej je to už jasné...

Inak, v Tabuľkách sa dá nájsť všeobecnejší vzťah ro=S/s,
kde S je obsah trojuholníka a s polovičný obvod...

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2013 19:33

Aritmetická posloupnost

#2 08. 03. 2013 19:47

Re: Aritmetická posloupnost

#3 08. 03. 2013 20:03 — Editoval Flaky (08. 03. 2013 20:17)

Re: Aritmetická posloupnost

#4 08. 03. 2013 20:17

Re: Aritmetická posloupnost

#5 08. 03. 2013 20:19

Re: Aritmetická posloupnost

#6 08. 03. 2013 20:26

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí