Matematické Fórum

perwin · 11. 03. 2013 00:12

Dobrý den,
nejprve mám zde takovýto náčrtek rovnoramenného trojúhelníku:

Mám zde vždy délku vodorovné úsečky a délku k ní patřící svislé úsečky (výšky).
Například pro bod O (záměrně O jako nula) by byla pro úsečku s nulovou délkou v tomto bodě výška v(0) dlouhá jako celá výška trojúhelníku. A pro úsečku |PQ| - tedy základnu - by byla výška v(|PQ|) nulové délky.
Moje otázka zní takto: Existuje nějaká spojitost mezi zmenšující/zvětšující se vodorovnou úsečkou a k ní přilehlou výškou? Protože podle mě by tam měla platit jakási nepřímá úměrnost, či něco podobného.
Platila by nějaká podobná spojitost úseček i v případě, že by tento trojúhelník měl libovolné délky stran a velikosti úhlů?
A za další, pokud bych znal úhly tohoto rovnoramenného trojúhelníku, bylo by možné nějakým způsobem vypočítat k zadané vodorovné úsečce délku její výšky? Kdybych například úsečku c měl dlouhou 10 cm, dokázal bych z ní vypočítat její výšku, jestliže délka základny by byla třeba 20 cm a úhly při základně by měli velikost 45°? Platilo by v tomto případě, že úsečka c se nachází v polovině výšky trojúhelníku?
Takovéto otázky mě už dlouho trápí, jelikož na ně nejsem schopný sám najít odpověď...
Děkuji mnohokrát za odpovědi.

Cheop · 11. 03. 2013 11:00 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 11:24)

↑ perwin:
Délka té úsečky závisí:
1) na velikosti úhlu, který svírá rameno se základnou rovnoramenného trojúhelníku (alfa)
2) na délce základny (PQ) = z
Při výšce v bude délka hledané úsečky (u):

$u=z-\frac{2v}{\textrm{tg}\,\alpha}$
Dále musí platit:
$z\,\ge\,\frac{2v}{\textrm{tg}\,\alpha}$

nejsem_tonda · 11. 03. 2013 11:19

Zdravim,

Moje otázka zní takto: Existuje nějaká spojitost mezi zmenšující/zvětšující se vodorovnou úsečkou a k ní přilehlou výškou? Protože podle mě by tam měla platit jakási nepřímá úměrnost, či něco podobného.

Ano, existuje zavislost mezi vodorovnou useckou a k ni prilehlou vyskou. Ta zavislost je mozna lepe videt, kdyz se nedivame na "spodni cast" vysky, ale naopak na jeji "horni cast" (oznacim $w_a$ )

Intuitivne by melo byt jasne, ze "cim vetsi je $a$ , tim vetsi je $w_a$ ". Skutecne je $w_a=\textrm{konstanta}\cdot a$ . Tim uz snadno odhalime i zavislost tve $v(a)$ . Je totiz
$v(a)=v(|PQ|)-w_a = v(|PQ|)-\textrm{konstanta}\cdot a = \textrm{pevné číslo} - \textrm{konstanta}\cdot a$
Z toho se da i predstavit, jak presne v(a) zavisi na a (napriklad se da nakreslit graf).

Platila by nějaká podobná spojitost úseček i v případě, že by tento trojúhelník měl libovolné délky stran a velikosti úhlů?

Ano, platila. Klicova vlastnost je podobnost trojuhelniku (to je zase lepe videt, divame-li se na $w_a$ misto $v(a)$ ). Konkretni tvar trojuhelniku nehraje az takovou roli.

A za další, pokud bych znal úhly tohoto rovnoramenného trojúhelníku, bylo by možné nějakým způsobem vypočítat k zadané vodorovné úsečce délku její výšky?

Ano, je to mozne, pokud zname i rozmery puvodniho trojuhelnika. Jelikoz mame
$v(a)=v(|PQ|)-\textrm{konstanta}\cdot a$ ,
jde o to znat $v(|PQ|)$ a v zavislosti na uhlech trojuhelnika zjistit to cislo $\textrm{konstanta}$ . Oboji se da udelat, zname-li alespon jednu stranu a alespon jeden uhel. Pouziji se k tomu tzv. goniometricke funkce. Znas?

Kdybych například úsečku c měl dlouhou 10 cm, dokázal bych z ní vypočítat její výšku, jestliže délka základny by byla třeba 20 cm a úhly při základně by měli velikost 45°? Platilo by v tomto případě, že úsečka c se nachází v polovině výšky trojúhelníku?

Ano, dokazal bys to. V tomto pripade opravdu bude platit, ze usecka c se bude nachazet v polovine vysky trojuhelnika (dokonce ma nazev - stredni pricka). Usecka polovicni nez strana PQ bude v polovine vysky trojuhelnika dokonce vzdy, at jsou rozmery a uhly trojuhelnika jakekoliv.

Tvoje uvaha se da i rozsirit: Usecka c trikrat kratsi nez PQ bude ve dvou tretinach vysky trojuhelnika (bliz bodu O). Podobne usecka c petkrat kratsi nez PQ bude ve ctyrech petinach vysky trojuhelnika atd.

_______________________________________

Pokud nad podobnymi vecmi rad premyslis, doporucuji navstivit stranky Pikomatu, nebo i stranky MKS. Mohly by te zajimat.

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2013 00:12

Vlastnosti k úsečce rovnoběžné se základnou trojúhelníku

#2 11. 03. 2013 11:00 — Editoval Cheop (11. 03. 2013 11:24)

Re: Vlastnosti k úsečce rovnoběžné se základnou trojúhelníku

#3 11. 03. 2013 11:19

Re: Vlastnosti k úsečce rovnoběžné se základnou trojúhelníku

Zápatí