Matematické Fórum

Akcope · 11. 03. 2013 15:53 — Editoval Akcope (11. 03. 2013 15:57)

Zdravím, mám následující integrál:

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}$

Vím, že existují dvě metody jak na něj jít. Lze spravit substituci x=tan(t), a také je možné jít přes per partes. Já bych preferoval metodu s per partes, ale vůbec nerozumím, jak se tak mám dostat do lepší situace - přes per partes se ve jmenovateli mocnina ještě zvýší.

Poradí někdo prosím? Předem děkuji za odpověď.

Rumburak

Zdravím.

Zkus integerand rozložit na součin parciálnách zlomků (viz též heslo "Integrace racionálních funkcí"),
to povede k cíli zcela jistě. (TOTO BERU ZPĚT)

Možná že by bylo zajímavé zkusit substituci $x=2 \sinh t$ .

martisek · 11. 03. 2013 16:14

↑ Akcope:

Nemám moc času, tak jenom naznačím. Před per partes bych provedl

$\int\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac 1 4 \int\frac{ (x^2+4-x^2) dx}{(x^{2}+4)^{2}}= \frac 1 4 \int\frac 1 {x^2+4} dx-\frac 1 4 \int \frac { x^2 dx}{(x^{2}+4)^{2}}=$

a pak u=x; v'= x/(x^2+4)^2

martisek · 11. 03. 2013 16:16

↑ Rumburak:

Obávám se, že parciální zlomy k cíli nepovedou, protože to už parciální zlomek je.

Akcope · 11. 03. 2013 16:17

↑ Rumburak:

Díky za odpověď, ale nebude rozklad na parciální zlomky vypadat takto: $\int_{}^{}\frac{A}{x^{2}+4}+\int_{}^{}\frac{B}{(x^{2}+4)^{2}}$ ? Takže bych se nikam nedostal.

Akcope · 11. 03. 2013 16:19

↑ martisek:

Díky, to vypadá slibně :) Hned co se dostanu domů, zkusím dopočítat a napíšu sem.

Rumburak · 11. 03. 2013 16:36

↑ martisek:

Jasně, nechal jsem se zmást tím, že čitatel zlomku je konstanta a ne polynom 1. stupně (jak se formálně uvádí ve vzorcích).

Děkuji za upozornění.

Rumburak · 11. 03. 2013 16:43

↑ Akcope:

Bohužel bude, dokonce s A = 0 , B = 1 . Těšil jsem se na

$\int_{}^{}\frac{Cx + A }{x^{2}+4}+\int_{}^{}\frac{Dx + B}{(x^{2}+4)^{2}}$ ,

ale vyjde zde C = D = 0.

martisek

↑ Akcope:

Jsem opět zde. Napadlo mě ještě něco k vyzkoušení - taková nějaká inverzně univerzální substituce :-)

$\int \frac{dx}{(x^2+4)^2} = \frac 1 2 \int \frac{dx}{2 $\left( \frac x 2\right) ^2+1$^{2}} = \left | \frac x 2 = tg t; \frac {dx} 2 = \frac {dt} {\cos ^2 t}\right | = \frac 1 2 \int \frac 1 {\left(\frac {\sin ^2 t} {\cos ^ 2 t} +1\right) ^2}\cdot \frac {dt} {\cos ^2 t} =...=\frac 1 2 \int \cos ^2 t dt$

Teď jsem si všiml, že něco takového bylo vlastně už v nápovědě k zadání, takže jsem objevil Ameriku. Ale když už jsem to vysázel, tak to tady nechám...

Akcope · 11. 03. 2013 20:05

↑ martisek:

Znovu děkuji - Tento postup jsem zkoušel, ale vždy se zaseknu na prvním kroku po substituci - možná to zní stupidně, ale nedovedu si představit, co se děje v místě kde jsou napsané ty tři tečky a jak se to dostalo na cos^2. Dost se stydím, jelikož WolframAlpha, MAW, můj cvičící i vy jste tenhle krok přeskočili, takže je mi jasné, že se jedná o něco absolutně triviálního. Nicméně na to zaboha nemohu přijít. Kdyby mi toto bylo objasněno, zajisté by to vyřešilo můj problém.

jrn · 11. 03. 2013 20:49

$$\frac{1}{\frac{\cos^2 t + sin^2 t}{\cos^2 t}}$^2 = \frac{1}{\frac{1}{\cos^4 t}}$

Akcope · 11. 03. 2013 20:55

↑ jrn:

No jasně... nevím proč mě nenapadlo to převést na jedničku PŘED umocněním. Díky moc.

jrn · 11. 03. 2013 21:36

jinak toto $\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}$ se dá spočítat i tak, že se začneš integrovat $\int 1\cdot\frac{1}{x^2 +1}$ a tuším, že po druhym použití per partes už je vidět i ten požadovany integrál.

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2013 15:53 — Editoval Akcope (11. 03. 2013 15:57)

Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#2 11. 03. 2013 16:08 — Editoval Rumburak (11. 03. 2013 16:39)

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#3 11. 03. 2013 16:14

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#4 11. 03. 2013 16:16

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#5 11. 03. 2013 16:17

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#6 11. 03. 2013 16:19

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#7 11. 03. 2013 16:36

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#8 11. 03. 2013 16:43

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#9 11. 03. 2013 18:26 — Editoval martisek (11. 03. 2013 18:32)

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#10 11. 03. 2013 20:05

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#11 11. 03. 2013 20:49

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#12 11. 03. 2013 20:55

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

#13 11. 03. 2013 21:36

Re: Integrál mocniny polynomu ve jmenovateli

Zápatí