Matematické Fórum

sniper225

Dobrý den,
chtěl bych se zeptat jak vypočítám výšku=h kruhové výseče jestliže znám délku tětivy=s a oblouku=b ale neznám ani poloměr=r ani úhel=alpha . http://www.handymath.com/cgi-bin/arc18.cgi?submit=Entry Na této stránce se to dá vypočítat ale potřeboval bych vzorec.Díky

nejsem_tonda · 14. 03. 2013 10:00

Zdravim,
problem vede na rovnici, ktera je resitelna jen numerickymi metodami. Melo by byt videt, ze plati:
$b=r\alpha$
$\frac{s}{2}=r\sin\frac{\alpha}{2}$
odtud dostaneme rovnici pro neznamy uhel:
$\frac{\alpha s}{2}=b\sin\frac{\alpha}{2}$

byk7 · 14. 03. 2013 10:06 — Editoval byk7 (14. 03. 2013 10:25)

Hmm, to nebude nic pěkného:

pro délku oblouku $b$ platí vztah $b=\alpha r$ kde $0<\alpha\le\pi$ je středový úhel v radiánech a $r$ je poloměr

z kosinové věty pro trojúhelník ABM (resp. stranu AM) platí rovnice
$r^2=r^2+s^2-2rs\cos$\frac{\pi-\alpha}{2}$\Rightarrow s=2r\sin$\frac{\alpha}{2}$$
\begin{EDITPozn}

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

\end{EDITPozn}

mám tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých $r,\alpha$ a parametrech $b,s$
mám bohužel takový pocit, že to půjde vyřešit pouze numericky, a tedy explicitní vzorec (nejspíš) nebude existovat

no dobře, předpokládejme, že nyní už známe (alespoň přibližnou) hodnotu poloměru $r$ , nechť bod S je středem úsečky AB, potom z Pythagorovy věty platí
$|SM|^2=|AM|^2-|AS|^2\quad\Leftrightarrow\quad(r-h)^2=r^2-$\frac s2$^2\quad\Rightarrow\quad4h^2-8hr+s^2=0$
to je kvadratická rovnice s neznámou $h$ a známými hodnotami $s,r$ ,
diskriminant této rovnice je
$D=(-8r)^2-4\cdot4\cdot s^2=64r^2-16s^2=16$4r^2-s^2$$
tento diskriminant je vždy kladný, protože platí
$r\ge s>0\Rightarrow r^2\ge s^2\Rightarrow 4r^2>s^2\Rightarrow 4r^2-s^2>0\Rightarrow 64$4r^2-s^2$>0$

pro výšku $h$ teda platí alespoň jeden ze vztahů
$h=\frac{-(-8r)\pm4\sqrt{4r^2-s^2}}{2\cdot4}=r\pm\frac12\sqrt{4r^2-s^2}$
číslo $\frac12\sqrt{4r^2-s^2}$ je kladné, takže platí $r<r+\frac12\sqrt{4r^2-s^2}$ ,
ovšem zřejmě platí $h\le r$ , takže dostáváme finální vzorec
$h=r-\frac12\sqrt{4r^2-s^2}$

jelena · 14. 03. 2013 10:07 — Editoval byk7 (14. 03. 2013 10:33)

Pozn.: Dovolil jsem si sloučit Jeleniny tři příspěvky do jednoho, ať to tu není zahlcené něčím ne úplně podstatným. Snad to nebude moc vadit. (OT: Jinak samozřejmě také zdravím.) byk7

#4
Zdravím,

tato úloha je zde opakovaně - Odkaz, Odkaz a snad bude i více, jen si nevzpomínám. Stačí tak? Děkuji.

#5
↑ byk7:

Zdravím, na náhled jsem se dívala, tak už to zde nechám. Omluva.

#6
↑ nejsem_tonda:

Také zdravím a také omluva.

sniper225

Děkuji vám mnohokrát za vaše odpovědi.
ale asi jsem se zeptal špatně a za to se omlouvám přesneji potřebuji vypočítat todle :

znám déky drah b1,b2,b3,s, a vzdálenosti mezi body H1 H2 H3 , a také rozdíl b2-b3,b2-b1 dekuji za vaši odpověd

martisek · 15. 03. 2013 12:03

↑ sniper225:

No jo, to je jiná, to by těžké být nemělo: Je-li středový úhel alfa a poloměr nejmenšího oblouku r, pak

$\alpha = \frac {b_3} r = \frac {b_2} {r+h2-h3}\Rightarrow \frac r {b_3} = \frac {r+h2-h3} {b_2}\Rightarrow r=\frac {b_3 (h_2-h_3)} {b_2 -b_3}$

A je-li poloměr, h se dopočítá velmi snadno.