Matematické Fórum

Xaraso · 14. 03. 2013 17:50

Zdravím, máme zadanú f a máme zistiť či rastie na celom svojom definičnom obore $f(x):y=\frac{x+1}{x}$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F%28x%2B1%29 tak rastie alebo nerastie na celom D(f) ? Lebo argument za je typu že sa rátajú len dané intervaly na ktorých je rastúca, argument proti že funkcia nespĺňa podmienku o rastúcej funkcii (v čo dúfam ja :D).

vanok · 14. 03. 2013 18:09 — Editoval vanok (14. 03. 2013 18:11)

Ahoj, ↑ Xaraso:
Tvoja funkcia splna na jej definicnom obore
$y=1+ \frac 1x$
A teraz, co mozes povedat, o funkcii, g, definovanej vzorcom $g(x)=\frac 1x$ ?

POZOR, funkciu co si pozeral na WA je ina ako pises.

Xaraso · 14. 03. 2013 18:15

↑ vanok:Ahoj, nerastie na celom D(f), ale prepáč malo to byť tak ako vo wolframe.

Xaraso · 14. 03. 2013 19:06

Tak skúsme na to nejak príjsť, lebo tento príklad ma dosť zaujíma. Jediný, ktorý mi nevyšiel a nechápem riešenie stále (ak má byť rastúca na celom D(f))

1.Definičný obor alebo obor definície (zriedkavo: obor alebo doména) zobrazenia (teda funkcie) sú všetky prvky množiny, z ktorej sa zobrazuje. D(fx) je $R-\{-1\}$

2.Jedná sa o lineárnu lomenú funkciu. s parametrami : $a=1, b=0, c=1, d=1$

3.Rastúca funkcia je funkcia f(x), pri ktorej pre každé x1 < x2 z definičného oboru funkcie platí f(x1) < f(x2).

4.Pro ad-bc>0 (ad>bc) se jedná o hyperbolu rostoucí na intervalech $(-\infty;\frac{-d}{c}) a (\frac{-d}{c};\infty)$

Takže ak tvrdenie 4 je nadradené nad tvrdením 3 správne by malo byť že je rastúca na celom D(f).

Ak je tvrdenie 3 nadradené nad tvrdením 4 správne by malo byť že na celom D(f) nie je rastúca.

Ak sú v rovnosti malo by platiť tvrdenie 3 ?
Existuje také číslo ktoré popiera tvrdenie, 3 naopak neexistuje také číslo ktoré vyvracia tvrdenie 4 takže ?

Arabela · 14. 03. 2013 19:24

Ahoj ↑ Xaraso:,
naozaj, lineárna lomená funkcia nie je rastúca (ani klesajúca) na celom svojom definičnom obore; ľahko sa nájde protipríklad. Ja zaujímavé, že pred pár rokmi sa v niektorých príručkách (napríklad prípravy na VŠ) uvádzali tieto chybné výsledky, že lineárna lomená funkcia je rastúca na celom svojom definičnom obore (na zjednotení príslušných intervalov), ale myslím, že v súčasnostri je to už vo všetjých relevantných príručkách správne (je rastúca, resp. klesajúca na tom a tom intervale, a ešte na tom a tom, ale nie na celom D(f)).

Xaraso · 14. 03. 2013 19:30

↑ Arabela:Dobrý deň, ani neviete ako ste mi zlepšili náladu :) Môžem sa ešte, spýtať jednu vec? Neviem to nikde na internete nájsť, aká je definícia pre termín "rastúca na celom definičnom obore".

Arabela · 14. 03. 2013 19:33

↑ Xaraso:
funkcia f(x) je rastúca na D(f) $\Leftrightarrow$
$(\forall x_{1},x_{2}\in D(f): x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2}))$

Xaraso · 14. 03. 2013 19:35

↑ Arabela:Takže obyčajná poučka o raste funkcie, dobre ďakujem. :)

Arabela · 14. 03. 2013 19:45

↑ Xaraso:
áno, presne tak. No a nie je ťažko zvoliť v prípade konkrétnej lineárnej lomenej funkcie, ktorá je napr. rastúca na oboch "podintervaloch" svojho definičného oboru také x1, x2, že x1<x2 a súčasne f(x1)>=f(x2).
Obdobne s klesajúcou na podintervaloch.

vanok · 14. 03. 2013 20:25 — Editoval vanok (15. 03. 2013 09:04)

Poznamka: normalne pojem rastucej, klesajucej funkcie sa definuje na usporiadanej mnozine. Ale sa mozeme stretnut s funkciamy co su take len na urcitych podintervaloch ich definicneho oboru.

brodzko · 14. 03. 2013 23:28

Zdravím,

ja som zas vychádzal z vety:

Ak f'(x) > 0 pre všetky x z (a;b) potom f(x) ja na (a;b) rastúca.

Z tohto mi vychádza že x/(x+1) je rastúca na celom D(f) pretože f'(x) = 1/(x+1)^2 > 0 pre všetky x. Ale argumentácia proti tomu že je rastúca na celom D(f) mi tiež príde logická. Niekto mi s tým prosím pomôžte, lebo sa dostanem do matematickej krízy (dospieť k dvom protikladným záverom nie je v matematike zdravé :D)

Vďaka :)

Arabela · 14. 03. 2013 23:42

↑ brodzko:
ba čo viac, ak si dobre spomínam, tá veta o monotónnosti znela nejako tak, že ak f'(x) je kladná na otvorenom intervale (a,b), potom je funkcia rastúca na uzavrertom <a,b>!
Kríza ako hrom!
Ale zase... hmm...
Tá derivácia je kladná nie pre všetky x, ale pre všetky x rôzne od -1...takže je kladná na (-nekonečno;-1), aj na (-1; nekonečno). To znamená, že je rastúca na (-nekonečno;-1) a je rastúca aj na (-1; nekonečno)
(z pochopiteľných dôvodov ostali intervaly otvorené; -1 nepatrí do def. oboru).
Takže je vlastne všetko v poriadku. Rastie na jednom, rastie aj na druhom, ale nerastie na ich zjednorení...

brodzko · 15. 03. 2013 00:02

Prečoby nie? ani v tom zjednotení predsa -1 nie je!

Na druhej strane, pred malou chvíľou v osvecujúcom čase strávenom na WC mi napadlo, či tá veta nepredpokladá spojitosť funkcie na celom (a;b) ? Potom by teda nemusela platiť.

Alebo je to ešte nejako inak? :)

zdenek1 · 15. 03. 2013 08:01

↑ brodzko:
Není to jinak.

vyjdem-li z tvé věty Ak f'(x) > 0 pre všetky x z (a;b) potom f(x) ja na (a;b) rastúca.
tak Rastie na jednom, rastie aj na druhom, ale nerastie na ich zjednorení...
protože pro $(-\infty;\infty)$ není splněna podmínka věty (derivace není
na celém $\mathbb R$ kladná - totiž právě v "mínus jedničce")

brodzko · 15. 03. 2013 08:29

V tom je ten problém: -1 predsa nie je ani v tom zjednotení. Je to problematické na predstavu :) Ale už rozumiem prečo z tejto vety nemôžem vychádzať, mne na teste úplne uniklo, že musí byť spojitá. F*ck :D

Mimochodom, aj rôzne zdroje sa rôznia v názore na túto problematiku. Stretol som sa už aj s tvrdeniami že je lin. lomená f-cia monotónna na celom D(f), aj na variante bez zjednotenia. To isté napr. pre f-cie tg(x), cotg(x).

My stredoškoláci to máme ťažké :D

vanok · 15. 03. 2013 09:22

↑ brodzko:,
Mas uplne pravdu, ze mozu byt na internete a aj inde nepravdive informacie.
Inac, je dolezite, vzdy vediet, ako je dana nejaka funkcia, co mas "studovat" a velmi pozorne citat text cvicenia.
Priklad:
$[3;4] \rightarrow R:x \rightarrow\frac 1x$
a
$R \rightarrow R:x \rightarrow\frac 1x$
su dve rozne funkcie.

Rumburak · 15. 03. 2013 09:39

↑ brodzko:

Ahoj. Věta

"Ak f'(x) > 0 pre všetky x z (a;b) potom f(x) ja na (a;b) rastúca. "

platí, ale podstatnou roli v ní hraje skutečnost, že (a;b) je INTERVAL, zatímco D(f) u lineární lomené funkce f intervalem NENÍ.

Rumburak · 15. 03. 2013 10:10

↑ Arabela:

Ahoj. Věta

ak f'(x) je kladná na otvorenom intervale (a,b), potom je funkcia f rastúca na uzavrertom <a,b>!

neplatí.

Platila by, pokud bychom doplnili předpoklad, že funkce f je v krajních bodech intervalu <a, b> spojitá
(v a zprava, v b zleva).

Arabela · 15. 03. 2013 12:42

↑ Rumburak:
Ďakujem za upresnenie.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

brodzko · 15. 03. 2013 14:10

Vďaka, problém je teda vyriešený - tak ako som povedal, zabudol som na predpoklad, že f-cia musí byť spojitá :) Vďaka za pomoc.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2013 17:50

príklad z maturity

#2 14. 03. 2013 18:09 — Editoval vanok (14. 03. 2013 18:11)

Re: príklad z maturity

#3 14. 03. 2013 18:15

Re: príklad z maturity

#4 14. 03. 2013 19:06

Re: príklad z maturity

#5 14. 03. 2013 19:24

Re: príklad z maturity

#6 14. 03. 2013 19:30

Re: príklad z maturity

#7 14. 03. 2013 19:33

Re: príklad z maturity

#8 14. 03. 2013 19:35

Re: príklad z maturity

#9 14. 03. 2013 19:45

Re: príklad z maturity

#10 14. 03. 2013 20:25 — Editoval vanok (15. 03. 2013 09:04)

Re: príklad z maturity

#11 14. 03. 2013 23:28

Re: príklad z maturity

#12 14. 03. 2013 23:42

Re: príklad z maturity

#13 15. 03. 2013 00:02

Re: príklad z maturity

#14 15. 03. 2013 08:01

Re: príklad z maturity

#15 15. 03. 2013 08:29

Re: príklad z maturity

#16 15. 03. 2013 09:22

Re: príklad z maturity

#17 15. 03. 2013 09:39

Re: príklad z maturity

#18 15. 03. 2013 10:10

Re: príklad z maturity

#19 15. 03. 2013 12:42

Re: príklad z maturity

#20 15. 03. 2013 14:10

Re: príklad z maturity

Zápatí