Matematické Fórum

↑ arahusky:

Myslím, že skalární součin lze zavést v libovolném vektorovém prostoru nad libovolným tělesem.

V triviálním prostoru (tj. v prostoru obsahujícím jen nulový vektor) položíme o.o = 0. Tato operace má všechny vlastnosti skalárního součinu a je tedy skalárním součinem.

Každý jiný prostor nad tělesem T má bázi, tj. množinu vektorů {e_1;e_2;..;e_n} tak, že pro každý vektor u existují prvky u_1; u_2;...;u_n tak, že



Je tedy možné definovat operaci



která je, jak známo, skalárním součinem.

Ovšem vektorové prostory lze sestrojovat i nad obecnějšími strukturami, než jsou tělesa, a tam nemusí být některá vlastnost splněna, např. u.u = 0 <=> u=0

↑ martisek:

No když mám vektor dejme tomu x=(1,1,1,1,1) nad tělesem Z5, tak mně pak <x,x> vychází rovno 5, což je v Z5 rovno 0.
To by mělo porušovat hned první axiom, a to, že skalární součin vektoru s ním samým je vždy větší než nula, až na nulový vektor.

↑ martisek:
Vypadá to tak:). Děkuju :)