Matematické Fórum

Jain · 18. 03. 2013 10:03

Mohli byste mi pomoct s těmito výpočty? A můžu poprosit o přesný postup, vůbec to nechápu :( Dík
Mám udělat elipsu.

1) $9x^{2}+y^{2}+12y=0$

2) $\frac{x^{2}}{30}+\frac{y^{2}}{44}=1$

Děkuju

Rumburak · 18. 03. 2013 10:52

Co to znamená "udělat elipsu" ?

Jain · 18. 03. 2013 10:59

↑ Rumburak:
Takhle to mám zadaný, prostě udělějte elipsu, najděte souřadnice, nic víc :(

Cheop · 18. 03. 2013 11:16 — Editoval Cheop (18. 03. 2013 15:03)

↑ Jain:
1)
$9x^{2}+y^{2}+12y=0$ - převedeme na středový tvar:

$9x^{2}+y^{2}+12y=0\\9x^2+(y+6)^2-36=0\\\frac{x^2}{4}+\frac{(y+6)^2}{36}=1$

$S=(0;\,-6)\\a=6\\b=2\\e=\sqrt{32}$

Obrázek

Konstrukce:
Zahradní (kolíková) konstrukce
$|EX|+|FX|=2a$

Rumburak · 18. 03. 2013 11:32

↑ Jain:

Možná to má znamenat "načrtněte" elipsu. K tomu je důležité určit přinejměnším její střed a vrcholy,
což lze téměř ihned vyčíst z rovnice elipsy upravené do tvaru

$$\frac{x-m}{a}$^2 + $\frac{y-n}{b}$^2 = 1$ :

střed: $S := [m, n]$ , vrcholy : $S \pm (a, 0) , S \pm (0, b)$ .

K jakémusi hrubému náčrtu by to mělo stačit, pokud máš představu, jak elipsa vypadá.

Jain · 18. 03. 2013 11:47

↑ Cheop:
Prosím tě, kde se tam "vzala" to -36?
A jak z $(y+6)^{2}-36$ udělám $\frac{(y+6)^{2}}{36}$ ?
A jak z $9x^{2}$ dostanu $\frac{x^{2}}{4}$ ?
Kde se tam vzala ta 1?? A to S=.... vůbec nechápu :(

Jsem matematickej anitalent, vůbec to nechápu :(

Cheop · 18. 03. 2013 11:59 — Editoval Cheop (18. 03. 2013 12:05)

↑ Jain:
$9x^{2}+y^{2}+12y=0\\9x^2+(y+6)^2=9x^2+y^2+12y+36$ a abys dostal $9x^{2}+y^{2}+12y$ tak tu 36 musíš odečíst a dostaneš:
$9x^2+y^2+12y=0\\9x^2+(y+6)^2-36=0\\9x^2+(y+6)^2=36$ podělíme 36
$9x^2+y^2+12y=0\\9x^2+(y+6)^2-36=0\\9x^2+(y+6)^2=36\\\frac{x^2}{4}+\frac{(y+6)^2}{36}=1$
Toto je tzv. středový tvar elipsy a z toho se dá určit:
Střed, délka hlavní poloosy a ,vedlejší poloosy b a excentricita elipsy e platí:
$e=\sqrt{a^2-b^2}$
Ta Tvoje elipsa je "nastojato" - viz obrázek výše.

bonifax

Ahoj,

v té druhé rovnici je zadáná již elipsa ve středovém tvaru, proto si myslím, že zadání přesněji mělo být "zjistěte význačné body elipsy tzn. souřadnice středu, ohniskek E a F, bodů A,B,C,D.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jain · 18. 03. 2013 23:42

↑ Cheop:
už ten postup chápu, děkuju :)
Jen ještě jedna věc - z toho $e=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ jak z toho zjistim ty souřadnice (na obrázku -2, 2) a tu její "výšku" (0, -12). Jakto že třeba nejde nahoru (0, 12)??
Dík

Jain · 18. 03. 2013 23:44

↑ bonifax:
Jak jsi na to přišel :D :(

Jain · 19. 03. 2013 16:54 — Editoval Jain (19. 03. 2013 17:04)

Můžete mi prosím poradit s tím $e=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$
Co to je, k čemu to slouží, co tam dosazuji,....?
A jak podle všeho co má vypočítaný, jak tu elipsu zakreslim?
Děkuju

Rumburak

↑ Jain:
To číslo $e=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ je excentricita elipsy , tj. společná vzdálenost ohnisek od středu.
Takže např. je-li $a > b > 0$ , pak elipsa o rovnici

$$\frac{x-m}{a}$^2 + $\frac{y-n}{b}$^2 = 1$

bude mít střed $[m, n]$ a ohniska $[m - e , n] , [m + e , n]$ .

Obdobně elipsa o rovnici $$\frac{x-m}{b}$^2 + $\frac{y-n}{a}$^2 = 1$ bude mít rovněž střed $[m, n]$ ,
ale ohniska $[m , n - e] , [m , n + e]$ .

Mezi oběma elipsami je vztah otočení o pravý úhel okolo jejich společného středu.

Jain · 19. 03. 2013 17:11

↑ Rumburak:
Teorie je mi jakžtakž jasná, ale nevím co dál.
Co jsem našel na netu, tam bych z mého prvního příkladu měl udělat: $e=\sqrt{4-36}$ což ale vyjde v mínusu a z toho odmocnina nelze udělat. To nechápu :( Co za to a a b dosadit.

Rumburak · 19. 03. 2013 17:30

↑ Jain:

Na netu je vedle dobrých informací jistě spousta chyb.

Jinak pokud prvním příkladem máš na mysli "udělejte elipsu $9x^{2}+y^{2}+12y=0$ " , pak takové zadání je
poměrně vágní (navíc zcela mematematické) a nijak z něj nevyplývá, do jakých podrobností se má jít.
Jinak by tomu bylo u úlohy např. "určete polosy, excentricitu, vrcholy a ohniska elipsy ... ".

Zkus si přesně rozmyslet, co potřebuješ objasnit, případně dej odkaz na to problematicé místo na webu -
zítra se na to mohu podívat.

Jain · 19. 03. 2013 20:43

↑ Rumburak:
Dostaly jsme zadání - nic víc. Náš učitel nám prostě jen dá zadání a toť vše. Ale vím, že to chtěl nakreslit.
A tady je odkaz a to, jak jsem hledal výpočet pro excentricitu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=16901

Rumburak

↑ Jain:
Pokud z toho odkazu na webu máš na mysli úlohu 1 , tak ta je tam vyřešena správně. Ale začínám tušit, v čem máš problém.

Rovnice "excentricita^2 = hlavní_poloosa^2 - vedlejší_poloosa^2" skutečně platí, ale je potřeba správně určit, které z kladných čísel
$p, q$ v rovnici elipsy

(1) $$\frac{x-m}{p}$^2 + $\frac{y-n}{q}$^2 = 1$

představuje poloosu hlavní a které poloosu vedlejší: hlavní poloosu vždy představuje to VĚTŠÍ Z NICH, vedlejší poloosu pak to zbývající
(případ $p=q$ by znamenal kružnici, která nás teď nezajímá) . Máme tedy dva možné případy:

I. V (1) je $p > q > 0$ . Pak hlavní poloosa má velikost $p$ (a vedlejší $q$ ) , při čemž hlavní osa elipsy (ta, na níž leží obě ohniska)
je rovnoběžná s osou $x$ . Excentricita bude $e =\sqrt{p^2-q^2}$ .

II. V (1) je $q > p > 0$ . Pak hlavní poloosa má velikost $q$ (a vedlejší $p$ ) , při čemž hlavní osa elipsy (ta, na níž leží obě ohniska)
je rovnoběžná s osou $y$ . Excentricita bude nyní $e =\sqrt{q^2-p^2}$ .