Matematické Fórum

Gambrielka · 21. 03. 2013 18:48

Prosím o pomoc s příkladem na analytickou geometrii paraboly. Zadání: Napiště rovnici tečny paraboly $y^2-6x=0$ , jejíž odchylka od osy x je $45^\circ$ .

Vím, že parabola bude mít zřejmě hlavní osu rovnoběžnou s osou y a obecná rovnice tečny vypadá $(x-m).(x_0-m)=p.(y-n).(y_0-n).$ Ale netuším, co dál, co s tou odchylkou... Předem děkuji.

martisek · 21. 03. 2013 19:06

↑ Gambrielka:

Ta parabola má osu rovnoběžnou s osou x. Pokud jde o tu odchylku - má-li přímka odchylku od osy x 45 stupňů, je její směrnice rovna jedné.

cyrano52

Ahoj,

ta odchylka ti udává směrnici tečny. Směrnice k se vypočítá jako $\text{tg}\alpha$ , kde $\alpha$ je právě těch 45°. Z toho teda vypočítáš funkční hodnotu, která ti vyjde 1.

Z toho plyne, že tečna bude mít tvar $y=1*x+c$ , kde c nám udává posunutí přímky na ose y tak, aby byla daná přímka tečnou k parabole. A teď musíš dosadit tuto přímku do paraboly:

$(x+c)^{2}-6x=0$

Použiješ vzorec $(a+b)^{2}$ , tzn. $x^{2}+2xc+c^{2}-6x=0$ . Toto je úplná kvadratická rovnice, ve které si akorát musíš udělat "pořádek" tak, abys ji měla v souladu s jejím předpisem. tzn. $ax^{2}+bx+c=0$ . Takže musíš vytknout x z mnohočlenu $2xc-6x$ a $c^{2}$ "poslat" na konec:

$x^{2}+x*(2c-6)+c^{2}=0$

Nyní si musíš uvědomit, že potřebuješ, aby byl diskriminant (pro připomenutí se počítá jako $b^{2}-4ac$ ) této kvadratické rovnice roven nule, protože hledáš pouze tečnu (a tečna se dotýká pouze v 1 bodě, tzn. tato kvadratická rovnice musí mít pouze 1 řešení). Dostáváš tedy rovnici:

$0=(2c-6)^{2}-4c^{2}$

Teď stačí dopočítat c a máš hotovo. :)