Matematické Fórum

Polopat

Zdravím,

není mi jasná jedna věc na podílovém kritériu, byl bych vděčný za "nakopnutí". Znění kritéria je:

Při podílovém (d'Alembertově) kritériu konverguje řada s kladnými členy $\Sigma a_{n}$ tehdy, existuje-li reálné číslo $0 < q < 1$ takové, že pro každé $n$ platí $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le q$ . Pokud je $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \ge 1$ , pak řada diverguje.

Proč je v kritériu v první části nutná existence $q$ a nejde prostě jenom napsat "když je $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1$ "? A naopak proč to v druhé části kritéria lze?

martisek

↑ Polopat:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1$ nestačí. Například pro harmonickou řadu $\sum \frac 1 n$ je

$\frac {a_{n+1}} {a_{n}} = \frac {\frac 1 {n+1}} {\frac 1 n} = \frac n {n+1} <1$

a řada přesto diverguje.

Ve druhém případě $\frac {a_{n+1}} {a_{n}} = 1$ svědčí zcela jasně o divergenci, protože to znamená že $a_{n+1} = a_{n}$ a $a_{n}\not =0$ (jinak by nebyl definován zlomek). To znamená, že nemůže platit lim a_n = 0 a není splněna nutná podmínka konvergence.

Polopat · 23. 03. 2013 09:06

↑ martisek:
Děkuji, už je mi to jasné.

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2013 18:17 — Editoval Polopat (22. 03. 2013 18:18)

Podílové kritérium

#2 22. 03. 2013 22:17 — Editoval martisek (22. 03. 2013 22:18)

Re: Podílové kritérium

#3 23. 03. 2013 09:06

Re: Podílové kritérium

Zápatí