Matematické Fórum

Vtip je v tom, že pro každé epsilon existuje pouze konečně mnoho x, pro které . Takže umíš najít delta takové, že v delta-okolí se žádná taková hodnota x nebude vyskytovat.

↑ Wellcosh:
Ano, to je to, co jsem potřeboval, tedy zjistit, v čem je ten vtip. Děkuju, tákže...pokračuji v pátrání...totiž "umíš najít delta takové...", vím, že bych měl, to jo. Ale neumím, tak se s tím jdu ještě trápit. Děkuji za pomoc.

↑ user:
Děkuji, díky moc za dodání množiny. Akorát nevím, proč se mi tu zobrazuje ta hláška "latex failed, probably due to an error in your expression". Dal jsem to do textarea a z toho už jsem to vyčetl, samozřejmě.
Není mi ale úplně zřejmé, co s ní dokážu. Ó, kéž by bylo.

edit: jo, teď už se to tedy zobrazuje, a ano, je to jasné, děkuji ještě za úplnost

↑ user:
Já, přiznám se, jsem fascinován. Aneb otázka OT: Jak to víte? Ta konstrukce množiny M, wow.

Chtěl bych toto ještě před spaním dořešit, takže doufám, že teď už jsem schopen aspoň zhruba napsat ten důkaz a je mi jasný jeho každý krok. Poprosil bych tedy o případné doladění nebo o potvrzení, že jde o správnou úvahu. Děkuji.

Máme tu funkci f, definovanou tak a tak. Chceme z definice ukázat, že její limita v bodě a (a z reálných čísel) je nulová. To znamená, že chceme najít pro kladné epsilon nějaké delta tak, že pro x v delta okolí bodu a, bude f(x)<epsilon.
Nechť M je tedy ta množina, kterou jste napsal. Pak nechť delta je minimální vzdálenost mezi bodem "a" a bodem "y" z M. Potom pro x z delta okolí bodu je "zřejmě" |f(x)|< epsilon. Což jsme chtěli dokázat.

Jo, bohužel mi to tak jasný není. Možná to bude tím, že nechápu úplně tu množinu M, jak tam je to s=floor(1/epsilon) + 2...+2? jak k tomu člověk přijde?

↑ kolejo:

Klidně se přiznám, že jsem se na tu množinu koukl do skript :D protože si pamatuju, že jsme Riemannovu funkci dělali jako příklad. Ale nechtěl jsem to sem psát celé, abych tě nepřipravil o možnost na to přijít sám.

Každopádně tvoje myšlenka důkazu je správná. Pro každé x z nalezeného okolí platí, že buď je iracionální a f(x)=0, takže je triviálně menší než , nebo je racionální, ale protože není v M, tak je jmenovatel toho čísla větší než floor(1/epsilon) + 2. Odtud je pak zřejmá nerovnost f(x) < .

Pozn. ta množina je původně konstruována takto, že nalezneme takové, že a potom je v množině místo  "s<floor(1/epsilon) + 2" "s<k". Přepsal jsem to takhle aby ta množina byla daná jednoznačně (a udělal na tom příkladě alespoň něco sám :).
Ta +2 je tam trochu zbytečná. Je to tam kdyby se náhodou našel někdo, kdo by řekl, že ta konstrukce nefunguje pro (to bylo +1) nebo bych snad chtěl dělat limitu v nějakém celém čísle a měl , tak by ostré nerovnosti omezující na interval délky 2 zase udělaly problém, proto +2.

↑ user:
↑ vanok:

Děkuji moc, takhle mi to stačí, bohatě. za chvíli označím za vyřešené. (nebo prostě ještě dneska někdy)
kolejo