Matematické Fórum

Marty88 · 26. 03. 2013 20:03

Ahoj,
znova něco z Algebry :/
Tentokrát něco na téma polynomy...
a) Ukažte, že polynom $f(x)=x^3+x+1$ má v tělese $\mathbb{Z}_{2}[\alpha ]/(f(\alpha ))$ kořeny $\alpha , \alpha ^2, \alpha ^2+\alpha$ .
V textu se píše, že $\alpha$ je kořenem protože platí $\alpha^3+\alpha+1=0$ - takže se to ověřuje tak, že dosadím zpátky do polynomu - to chápu, ale jak přišli na to že se to opravdu rovná nule?

b) Najděte všechny kořeny polynomu $f(x)=x^3+2x+1$ v tělese $\mathbb{Z}_{3}[\alpha ]/(f(\alpha ))$ .
A tohle opět nevím vůbec..
Díky!

vanok · 27. 03. 2013 10:37

↑ Marty88:
Mozes dat cely text tvojho problemu. Dakujem.

Marty88 · 27. 03. 2013 10:55

↑ vanok:
Celý text se dá nalézt zde:
Skripta konečná tělesa.
Přesněji na stránce 4 před větou 1.1., cvičení pak jsou na stránce 6..
Díky, že na to mrkneš, jsem z toho zoufalý :/

vanok · 27. 03. 2013 13:03 — Editoval vanok (27. 03. 2013 13:17)

Prva otazka: $\mathbb{Z}_{2}[\alpha ]/(f(\alpha ))$ je teleso " quotient", kde ekvivalencia je: mat ten isty zvysok pri euklidovskom deleni polynomom f.
Preto vysledna struktura ma, tomto pripade $2^3$ prvkov, a jej prvky su vsetky polynomy nizsieho stupna ako $f$ ( tak isto ako vsetky mozne zvysky pri euklidovskom deleni, ktore ti daju vsetky klasy ekvivalencie)
Pochopitelne $f$ hra ulohu nuly, v novej strukture.

vanok · 27. 03. 2013 13:24

Druha otazka: tu nove teleso ma. 27 prvkov, tak ti neostava nic ine ako vytestovat vsetky jeho prvky.

Marty88 · 27. 03. 2013 14:41

↑ vanok:
a) Takže abych zjistil zda to jsou kořeny té rovnice tak musím:
$(\alpha ^3+\alpha +1):\alpha$ a $(\alpha ^3+\alpha +1):\alpha ^2$ a $(\alpha ^3+\alpha +1):(\alpha ^2 + \alpha )$ a pokud u všech po tomto dělení vyjde stejný zbytek tak to jsou kořeny?

b) Těleso má 27 prvků - to jsme tedy spočítali tak 3^3 (p u $\mathbb{Z}_p$ ^ nejvyšší mocninu)
A prvky tedy jsou všechny polynomy, které mají řád nižší než řád polynomu $x^3+2x+1$ - tedy řád 2..
A bude to tedy
$0,1, \alpha, 2\alpha ,\alpha +1,2\alpha + 1,\alpha ^2, 2\alpha ^2,\alpha ^2+1, \alpha ^2 + \alpha, \alpha ^2 + 2\alpha,\alpha ^2 + \alpha +1, \alpha ^2 + 2\alpha +1,$
$2\alpha ^2+1, 2\alpha ^2 + \alpha, 2\alpha ^2 + 2\alpha,2\alpha ^2 + \alpha +1, 2\alpha ^2 + 2\alpha +1,$ (těch je 18)
A myslím si že by tam měli patřit i tyto - protože koeficienty polynomů bereme z množiny $\{0;1;2\}$ :
$2,\alpha +2, 2\alpha +2,\alpha ^2+2,\alpha ^2 + \alpha +2, \alpha ^2 + 2\alpha +2,2\alpha ^2+2,2\alpha ^2 + \alpha +2, 2\alpha ^2 + 2\alpha +2$ A to je těch zbylých 9 do 27.
A teď tedy musím každý vzít a dělit s ním polynom $\alpha ^3+2\alpha +1$ a u kterých vyjde stejný zbytek po dělení tak to jsou kořeny?
Chápu to správně?

vanok · 27. 03. 2013 15:37 — Editoval vanok (27. 03. 2013 15:42)

Nie dosadis do f.. pre $\alpha$ je to jasne.
Pre $\alpha^2$ dosadis do f...miesto $\alpha$ das $\alpha^2$ a pocitas v novej strukture a MUSIS dostan 0.
Atd

Pre tu druhu strukturu mas vsetky prvky, a mozes sa zabavat urobit aj tabulku sucinov, ( aditivna je trivialna) a na overenie korenov, robis ako tu vyssie som to vysvetlil.

Poznamka: ak mas tazkosti precvic si to napr na $\mathbb{Z}_5$

Marty88 · 27. 03. 2013 15:53

↑ vanok:
Tak a to je právě věc, které nerozumím:
Mám tedy: $\alpha ^3+\alpha +1 = 0$ , další rovnice s dalším dosazeným kořenem bude $\alpha ^6+\alpha^2 +1 = 0$ a poslední dosazený kořen dá: $(\alpha ^2 + \alpha )^3+(\alpha^2+\alpha) +1 = 0$ [vše k prvnímu příkladu]
Tohle všechno chápu - ale není mi jasné jak ověřím to, že opravdu $\alpha ^6+\alpha^2 +1 = 0$ , jak to spočítám - musím to nějak upravit na tu základní rovnici? Omlouvám se, už vážně musím vypadat jak blbec..
Díky

vanok · 27. 03. 2013 16:02 — Editoval vanok (27. 03. 2013 16:03)

Pis skor

$\alpha ^3+\alpha +1$ , da $\alpha ^6+\alpha^2 +1 = ......$ a pocitaj

napr mas $\alpha ^6 =( \alpha ^3)^2= (\alpha +1)^2= \alpha ^2 +1$ a takymto stylom pocitaj ( vsak si iste poznamenal ze $\alpha +\alpha=0$ , pre kazde $\alpha$ )

Marty88 · 27. 03. 2013 16:55

↑ vanok:
Chápu to dobře, že $\alpha ^3=\alpha +1$ jsme dostali z toho původního polynomu - takže to nebude platit obecně?
A počítám:
$\alpha ^3 + \alpha +1 = \alpha +1 + \alpha +1 = \alpha + \alpha +1 +1 = 0+1+1 = 0$
$\alpha ^6 + \alpha ^2+1=(\alpha ^3)^2+\alpha ^2+1=(\alpha +1)^2 + \alpha ^2+1=\alpha ^2 +\alpha ^2 +1+1=0+1+1=0$
a poslední:
$(\alpha^2+\alpha )^3+(\alpha ^2+\alpha )+1=(\alpha^3)^2+\alpha ^3+\alpha ^2+\alpha +1 = (\alpha +1)^2+\alpha +1+\alpha ^2+\alpha +1 = \alpha^2 + \alpha ^2+\alpha +\alpha +1+1=0+0+1+1=0$
Pokud by to bylo nad $\mathbb{Z}_3$ neplatilo by tam $\alpha +\alpha =0$ ale $\alpha + \alpha + \alpha =0$ , že ano...
Teď ještě přemýšlím, jestli by se $\alpha^2 +\alpha^2$ nemělo zapsat jako $(\alpha +\alpha)^2=0^2=0$ aby to bylo lépe viditelné..
Je to tak správně?

vanok · 27. 03. 2013 17:22

↑ Marty88:
$\alpha ^3=\alpha +1$ plati obecne.
Vsak som ti vysvetlil preco $\alpha ^3+\alpha +1$ ma representanta 0 v novej structure.
A vo vypoctoch sa prave to vyuziva.
Preto v prvom riadku:
$\alpha ^3 + \alpha +1 = \alpha +1 + \alpha +1 = \alpha + \alpha +1 +1 = 0+1+1 = 0$
Mozes priamo napisat =0

$\alpha^2 +\alpha^2$ z tym mozes priamo napisat =0, ale ani ta druha varianta nie je spatna.

$\alpha +\alpha =0$ vyjadruje tiez, ze to nove teleso la charakteristiku 2.

Cize ta prva cast je ukoncena. Dolezite ze si to pochopil.

V tej druhej ide o taku to istu robotou, ale musis skusat 26 moznosti,
To z $\alpha$ je automaticky, zasa vdaka konstrukcii.

Marty88 · 27. 03. 2013 17:46

↑ vanok:
Jasný, ale u toho druhého příkladu, kde je polynom $\alpha ^3+2\alpha +1$ bude $\alpha ^3 = 2\alpha +1$ , ne?

vanok · 27. 03. 2013 18:08

Nie, charakteristika je 3.
$\alpha ^3+2\alpha +1=0$
Da $\alpha ^3 = \alpha +2$

Marty88

↑ vanok:
Dá se to nějak obecně vyjádřit? Nějak takhle třeba:
Platí tedy, že $\alpha ^n=\alpha + (k-1)$ kde $\alpha ^n$ je nejvyšší mocnina a $k$ je charakteristika?

vanok · 27. 03. 2013 18:49

Neda, je to zavisle na ireduktibilnom pouzitom polynome
Ale v takom telese, su definovane inverznej prvky. A tak mozes pripadne pouzit aj znamienka -.

Marty88 · 27. 03. 2013 19:09

↑ vanok:
Ale zřejmě existuje nějaké pravidlo jak to získat,ne?
Co když třeba budu mít $\alpha ^6 + \alpha ^5+1$ v $\mathbb{Z}_2$ ?

vanok · 27. 03. 2013 19:18 — Editoval vanok (27. 03. 2013 19:32)

Nerozumiem celkom....
Alebo ide o nove teleso.
Ak ten polynom ireduktibilny mas $\alpha ^6 + \alpha ^5+1=0$ , co da $\alpha ^6 =\alpha ^5+1$ v $\mathbb{Z}_2$

Alebo chces to vidiet v tom predoslom teleso? Vtedy ten polynom akoze je je vyssie ho stupna, je mozne najst jeho represant vdaka euklidovskemu deleniu.

Marty88 · 27. 03. 2013 19:51

↑ vanok:
No hledám návod jak zjistit ono $\alpha ^3=\alpha +1$ (Což bylo v prvním úkolu)
Kdyby ten polynom byl $\alpha ^3+2\alpha +1$ , čemu by se rovnalo $\alpha ^3 =$ ? [pořád se bavíme v rámci prvního úkolu]

vanok · 27. 03. 2013 20:10

Akoze tvoj ireduktibilny pol. ti da $\alpha ^3+\alpha +1=0$ a ako som ti uz naznacil ze kazdy prvok noveho telesa sa da vykadrit ako pol mensieho stop ako 3. Tak $\alpha ^3+2\alpha +1 = \alpha$ ( ale aj 2 = 0 ) vies preco?

Marty88 · 27. 03. 2013 20:55

↑ vanok:
Já jsem blb..
$\alpha ^3+2\alpha +1 = \alpha ^3+1=\alpha$
Ještě taková otázka k umocňování při počítání s $\alpha$
$(2\alpha+1)^3$ bude jen obyčejně
$(2\alpha)^3 + 1 = 8\alpha^3+1 = 2\alpha ^2+1$ v $\mathbb{Z}_2$
Nebo musím dodržet klasické matematické:
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ?

vanok · 27. 03. 2013 22:06

Classicke v tomto telese da $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+a^2b+ab^2+b^3$ , zasa to iste ta charakteristika je tu 2.

Marty88 · 27. 03. 2013 22:14

↑ vanok:
Díky moc za všechno vysvětlení, trpělivost atd.. Díky
Snad to zítra dopadne dobře..

vanok · 27. 03. 2013 22:36

to mas pisomnu skusku?

Marty88 · 27. 03. 2013 22:40

↑ vanok:
Ano, bude to písemně...

vanok · 27. 03. 2013 22:47

Tak vela stastia, i ked je tazke mat automatizmy za takuto kratku dobu.
No ale som isty, ze tie zakladne mechanizmy si pochopil, a skoda, ze taketo cvicenia ( ako som ti tu ukazal) chybaju na vela vysokych skol.
Daj nam text z tej skusky na toto vlakno.
A inac na akej fakulte studujes, a v akom rocniku?

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2013 20:03

Polynomy v tělese

#2 27. 03. 2013 10:37

Re: Polynomy v tělese

#3 27. 03. 2013 10:55

Re: Polynomy v tělese

#4 27. 03. 2013 13:03 — Editoval vanok (27. 03. 2013 13:17)

Re: Polynomy v tělese

#5 27. 03. 2013 13:24

Re: Polynomy v tělese

#6 27. 03. 2013 14:41

Re: Polynomy v tělese

#7 27. 03. 2013 15:37 — Editoval vanok (27. 03. 2013 15:42)

Re: Polynomy v tělese

#8 27. 03. 2013 15:53

Re: Polynomy v tělese

#9 27. 03. 2013 16:02 — Editoval vanok (27. 03. 2013 16:03)

Re: Polynomy v tělese

#10 27. 03. 2013 16:55

Re: Polynomy v tělese

#11 27. 03. 2013 17:22

Re: Polynomy v tělese

#12 27. 03. 2013 17:46

Re: Polynomy v tělese

#13 27. 03. 2013 18:08

Re: Polynomy v tělese

#14 27. 03. 2013 18:28 — Editoval Marty88 (27. 03. 2013 18:28)

Re: Polynomy v tělese

#15 27. 03. 2013 18:49

Re: Polynomy v tělese

#16 27. 03. 2013 19:09

Re: Polynomy v tělese

#17 27. 03. 2013 19:18 — Editoval vanok (27. 03. 2013 19:32)

Re: Polynomy v tělese

#18 27. 03. 2013 19:51

Re: Polynomy v tělese

#19 27. 03. 2013 20:10

Re: Polynomy v tělese

#20 27. 03. 2013 20:55

Re: Polynomy v tělese

#21 27. 03. 2013 22:06

Re: Polynomy v tělese

#22 27. 03. 2013 22:14

Re: Polynomy v tělese

#23 27. 03. 2013 22:36

Re: Polynomy v tělese

#24 27. 03. 2013 22:40

Re: Polynomy v tělese

#25 27. 03. 2013 22:47

Re: Polynomy v tělese

Zápatí