Matematické Fórum

nurv · 27. 03. 2013 16:37 — Editoval nurv (27. 03. 2013 16:38)

Ahoj, právě budeme dělat v pondělí vyšetření průběhu implicitně zadaných křivek a já budu mít příklad (viz. odkaz).

Problém je, že nevím jak na něj, můj doučovatel z čvut neví jak na něj a když jsem se zeptal našeho cvičícího ve škole, tak se přiznal, že také neví a pokusí se to zjistit...

A tak bych chtěl poprosit, zda by mi ho tu někdo nevypočítal - měl bych alespoň nějaké body...

Moc děkuji...

PŘÍKLAD (V závorce je výsledek)

martisek

↑ nurv:

Funkci F(x,y)=0 zadanou implicitně derivujeme jako složenou funkci. Je třeba pamatovat na to, že i se symbolem y musíme zacházet jako se složenou funkcí, takže např. (y^2)´= 2yy´. Z takto zderivované funkce vyjádříme y' a položíme rovno nule - získáme stacionární body. O tom, zda jsou to extrémy a jaké rozhodujeme analogicky jako v "běžných" případech (tj. např. pomocí druhé derivace).

Honzc · 28. 03. 2013 09:39 — Editoval Honzc (28. 03. 2013 10:11)

↑ nurv:
Nebo také platí: $y'=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$ $\left(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0\right)$
přičemž $\frac{\partial F}{\partial y}(x_{0},y_{0})\neq0$
Pro tvou křivku vyjde:
$y'=-\frac{4x(x^{2}+y^{2}-a^{2})}{4y(x^{2}+y^{2}+a^{2})}$
Pak pro $y'=0$ dostaneme
$4x(x^{2}+y^{2}-a^{2})=0$
Pro bod (0,0) není splněna podmínka $\frac{\partial F}{\partial y}(x_{0},y_{0})\neq0$ a tedy bod (0,0) není stacionárním bodem
Z $x^{2}+y^{2}-a^{2}=0$ dostaneme $x=\pm \sqrt{a^{2}-y^{2}}$ ( $x^{2}=a^{2}-y^{2}$ )
Nyní stačí z rovnice křivky (mimochodem je to lemniskáta) vypočítat pro tato x druhou souřadnici (tedy y)
Máme:
$(a^{2}-y^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(a^{2}-y^{2}-y^{2})=0$
$y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$
Po dosazení do $x=\pm \sqrt{a^{2}-y^{2}}$ dostaneme stacionární body
$x=\pm \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\pm \frac{a}{2}\sqrt{3}$

Poznámka: Druhou derivaci můžeš vypočítat ze vztahu:
$\frac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial ^2F}{\partial x \;\partial y}y'+\frac{\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}y'^{2}+\frac{\partial F}{\partial y}y''=0$