Matematické Fórum

Blackflower

Zdravím,
mám nejasnosti ohľadom párnych a nepárnych funkcií a matematických operácií s nimi (sčítanie, odčítanie, násobenie). Snažila som sa nejako si odvodiť závery, ale jediné, čo mi vyšlo, bolo to, že keď vynásobím párnu a nepárnu funkciu, dostanem nepárnu.

Nech f je párna: $f(-x)=f(x)$
Nech g je nepárna: $g(-x)=-g(x)$

$f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot (-(g(x)))=-f(x)\cdot g(x)$ - ak uvažujem správne, znamená to, že súčin párnej a nepárnej funkcie bude nepárna

Skúšala som aj ostatné súčiny, ale nevedela som určiť párnosť/nepárnosť mocniny funkcie:
$f(-x) \cdot f(-x)=f^2(x)$
$g(-x) \cdot g(-x)=(-g(x)) \cdot (-g(x))=g^2(x)$

Vedel by mi s týmto niekto pomôcť? Prípadne poznáte nejaký materiál, z ktorého by sa to dalo naštudovať?
Vopred ďakujem.

Andrejka3 · 29. 03. 2013 12:17

↑ Blackflower:
Ahoj, vždyť přirozená mocnina je vlastně součin, který jsi již dokázala, jak funguje.
Možná je problém ve značení?
Označme $\varphi_n$ funkci, která $x \mapsto \left(f(x)\right)^n$ , kde $n \in \mathbb{N}$ .
Je-li $f$ nepárna, pak $\varphi_n(-x)=\left(f(-x)\right)^n=\left((-1)f(x) \right)^n=(-1)^n \left(f(x) \right)^n=(-1)^n\varphi_n(x)$ , tedy je její n-tá mocnina párna pro n párne (promin za komoleni slovenštiny) a nepárna, pokud je n nepárne.

Blackflower · 29. 03. 2013 12:20

↑ Andrejka3: To dáva zmysel... nenapadlo mi pozrieť sa na to takto a zapísať si to.
A pokiaľ bude f párna, bude párna aj hocijaká jej prirodzená mocnina či tomu zase zle rozumiem?

Andrejka3 · 29. 03. 2013 12:24

↑ Blackflower:
Dobře.

Blackflower · 29. 03. 2013 12:30

↑ Andrejka3: Ešte posledná otázka... ako to funguje, keď sčítavam a odčítavam? Dala som si do wolframu najprv $x^2+\cos x$ a potom $-x^2+\cos x$ . K obidvom mi napísal, že sú párne. Potom som skúsila $x^3+\sin x$ a $-x^3+\sin x$ , tie boli obe nepárne. Z toho mi vzniká hypotéza, že keď spočítam dve párne, výsledná bude párna, keď spočítam dve nepárne, výsledok bude opäť nepárna. Keď spočítam párnu a nepárnu, neviem vo všeobecnosti povedať, čo dostanem. Funguje to tak naozaj alebo som úplne mimo?

Andrejka3

Součet dvou párných fcí je párná fce:
$(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=\pm f(x) \pm g(x)$ .
horní znaménko odpovídá párným sčítancům. Pokud jsou obě znaménka stejná, lze je vytknout a pak dostaneš $\pm(f(x)+g(x))=\pm (f+g)(x)$ .
Pokud nejsou obě znaménka stejná, obecně vytknout nelze. Tak třeba zkus |x| sečíst s x.
Případ odečítání lze převést na sčítání: odečítání g je tot=ž co přičítání (-g). Což je vynásobení g fcí (-1), jež je párna.
edit: místo signum absolutní hodnota
edit2: takže opět správná hypotéza.

Blackflower · 29. 03. 2013 12:44

↑ Andrejka3: Ďakujem za vyčerpávajúcu odpoveď, veľmi si mi pomohla.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2013 12:07 — Editoval Blackflower (29. 03. 2013 12:08)

Párne a nepárne funkcie

#2 29. 03. 2013 12:17

Re: Párne a nepárne funkcie

#3 29. 03. 2013 12:20

Re: Párne a nepárne funkcie

#4 29. 03. 2013 12:24

Re: Párne a nepárne funkcie

#5 29. 03. 2013 12:30

Re: Párne a nepárne funkcie

#6 29. 03. 2013 12:42 — Editoval Andrejka3 (29. 03. 2013 12:45)

Re: Párne a nepárne funkcie

#7 29. 03. 2013 12:44

Re: Párne a nepárne funkcie

Zápatí