Matematické Fórum

luko · 02. 01. 2009 11:17 — Editoval luko (02. 01. 2009 11:59)

Zdravim, potreboval bych pomoci s temito limitami

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{N%20\to%20\infty}%20\sqrt[3]{\sqrt{n^7}%2B%20\sqrt[3]{n^7}}-\sqrt[3]{\sqrt{n^7}-%20\sqrt[3]{n^7}}$

a

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{n%20\to%20\infty}%20(1%2B\frac{1}{n^2})^n$

u te druhe limity jsem se to pokousel upravit, tak abych nejak dostal urcity tvar eulerova cisla, ale nepovedlo se mi to.

dekuji moc

Pavel Brožek · 02. 01. 2009 11:41

U první limity je vhodné výraz rozšířit tak, aby jsi tam dostal vzorec:

$a-b=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$

Druhá limita je jednoduchá, děláš limitu složené funkce. Nikde se tam eulerovo číslo neobjeví.

ttopi · 02. 01. 2009 11:47 — Editoval ttopi (02. 01. 2009 11:49)

Ta první vypadá na 0. Nevím, jestli to není špatně napsáno, ale tak jak to je, se ty výrazy odečtou.

Ta druhá vypadá, že vyjde 1?

Pavel Brožek · 02. 01. 2009 11:48

↑ ttopi:

Ano, vyjde 1.

luko · 02. 01. 2009 11:58

[re]p35389|ttopi[/re

Diky,

ta prvni je napsana dobre, ale nemyslim si, ze by to byla nula, protoze pod to druhou odmocninou je minus.

luko · 02. 01. 2009 12:00

↑ ttopi:

Moc se omlouvam, ale u te druhe limity to melo byt cele na n-tou a ne na druhou, uz je to opraveno.

ttopi · 02. 01. 2009 12:02

Pak mi tedy vychází 1 u té druhé posloupnosti.

luko · 02. 01. 2009 12:08

↑ ttopi:

To jsem si myslel taky. Ale cvicici rikal, ze je to spatne. Taky jsem si myslel ze druhy clen v zavorce jde k nule, ale on to dostal do tvaru s eulerovym cislem. Bouhuzel si nemohu vzpomenout jak.

Pavel Brožek

↑ luko:

Jistě, říct, že druhý člen jde k nule nestačí, protože to by pak i limita $\lim_{n\to \infty}(1+\frac1n)^n$ měla limitu 1, což zřejmě neplatí.

Postupuje se tak, že to převedeš na limitu $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{(1+\frac1{n^2})^{n^2}}$ a pak už je použití věty o limitě složené funkce snad jasné.

První limita vychází $\frac23$ . Všimněte si, že se všude vyskytuje pouze $n^7$ můžeme to tedy nahradit nějakým m jdoucím také do nekonečna, zjednoduší se tak počítání.

ttopi · 02. 01. 2009 12:13 — Editoval ttopi (02. 01. 2009 12:14)

No to s Eulerovým číslem se udělá takto:
${\lim}\limits_{n \to \infty}\Big(1+\frac{1}{n^2}\Big)^n={\lim}\limits_{n \to \infty}\Bigg(\Big(1+\frac{1}{n^2}\Big)^{n^2}\Bigg)^{\frac{n}{n^2}}$

Pak ale vyjde 1, podle mě.

luko · 02. 01. 2009 12:14

↑ BrozekP:

Diky oboum moc mi to pomohlo.

luko · 02. 01. 2009 23:33

↑ BrozekP:

Mohl byste mi kdyztak ukazat roznasobene odmocniny. Mam v tom docela gulas. Nahore mam vzorec ve tvaru 2*\sqrt{3}{a}, ale dole mi to nejak nevychazi k tem 2/3.

Dekuji moc

Pavel Brožek · 02. 01. 2009 23:47

↑ luko:

Nejsem si jistý, o čem mluvíte, $2\sqrt[3]{a}$ nikde nevidím, to je po substituci a=n^7? Pak by byl čitatel dobře. Jmenovatel by pak vypadal

$(\sqrt a+\sqrt[3]{a})^{\frac23}+(\sqrt a+\sqrt[3]{a})^{\frac13}(\sqrt a-\sqrt[3]{a})^{\frac13}+(\sqrt a-\sqrt[3]{a})^{\frac23}$

luko · 03. 01. 2009 11:02 — Editoval luko (03. 01. 2009 11:05)

↑ BrozekP:

ano a=n^7

po umocneni jmenovatele jsem se dostal sem, jak bych mel dale pokracovat?

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\infty}(a%2B2\sqrt[3]{a}\sqrt{a}%20%2B%20\sqrt[3]{a^2})^\frac{1}{3}%20%2B%20(a-\sqrt[3]{a^2})^\frac{1}{3}%20%2B%20(a%20-%202\sqrt[3]{a}\sqrt{a}%20%2B%20\sqrt[3]{a^2})^\frac{1}{3}$

Pavel Brožek · 03. 01. 2009 11:16

↑ luko:

Není nutné ve jmenovateli mocnit. Když máte čitatele a jmenovatele tak, jak je v mém příspěvku, tak stačí zlomek krátit, aby limita čitatele nebo jmenovatele byla nenulové konečné číslo. Zde tedy budeme krátit $\sqrt[3]{a}$ . Ve jmenovateli to dostaneme do závorek v tomto smyslu:

$\frac{(\sqrt a+\sqrt[3]{a})^{\frac23}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{(a^{\frac12}+a^{\frac13})^{\frac23}}{(a^{\frac12})^{\frac23}}=$\frac{a^{\frac12}+a^{\frac13}}{a^{\frac12}}$^{\frac23}=$1+\frac1{a^{\frac16}}$^{\frac23}$

Až dostanete všechny členy jmenovatele do tohoto tvaru, je pak limita jmenovatele jasná.

luko · 03. 01. 2009 12:44

↑ BrozekP:

uz to vsechno pekne vyslo dekuji

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2009 11:17 — Editoval luko (02. 01. 2009 11:59)

Limity posloupnosti

#2 02. 01. 2009 11:41

Re: Limity posloupnosti

#3 02. 01. 2009 11:47 — Editoval ttopi (02. 01. 2009 11:49)

Re: Limity posloupnosti

#4 02. 01. 2009 11:48

Re: Limity posloupnosti

#5 02. 01. 2009 11:58

Re: Limity posloupnosti

#6 02. 01. 2009 12:00

Re: Limity posloupnosti

#7 02. 01. 2009 12:02

Re: Limity posloupnosti

#8 02. 01. 2009 12:08

Re: Limity posloupnosti

#9 02. 01. 2009 12:12 — Editoval BrozekP (02. 01. 2009 12:14)

Re: Limity posloupnosti

#10 02. 01. 2009 12:13 — Editoval ttopi (02. 01. 2009 12:14)

Re: Limity posloupnosti

#11 02. 01. 2009 12:14

Re: Limity posloupnosti

#12 02. 01. 2009 23:33

Re: Limity posloupnosti

#13 02. 01. 2009 23:47

Re: Limity posloupnosti

#14 03. 01. 2009 11:02 — Editoval luko (03. 01. 2009 11:05)

Re: Limity posloupnosti

#15 03. 01. 2009 11:16

Re: Limity posloupnosti

#16 03. 01. 2009 12:44

Re: Limity posloupnosti

Zápatí