Matematické Fórum

Smeegel111 · 06. 04. 2013 15:53

Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru omezeného funkcemi y= $\sqrt{x-1}$ , y=x-1 kolem osy y.
Pokusila jsem se objem vypočítat podle vzorce V= $\pi \int_{c}^{d}f^{2}_{-1}(y)dy$ .
Vyšlo mi $\frac{5}{6}\pi$ , ale nevím, jestli jsem do vzorce dosadila správně.
Předem děkuji za pomoc.

jelena · 06. 04. 2013 18:29

Zdravím,

vzorec, co jsi napsala, je v pořádku (dolní index (-1) značí inverzní funkci k zadané?). Pokud ještě aktuální, doplň, svůj výpočet podrobněji - jak jsi sestavila celý vzorec pro výpočet, jaké máš meze, případně přidej obrázek. Děkuji.

Smeegel111 · 06. 04. 2013 20:11

↑ jelena:

Dolní index -1 je zadaný ve vzorci, je ale možné, že mám špatný vzorec.
Výpočet: V= $\pi \int_{0}^{1}\{(y-1)^{2}-(\sqrt{y-1)}^{2}\}$ dy = $\pi \int_{0}^{1}(y^{2}-3y+2)dy$ = $\pi [\frac{y^{3}}{3}-\frac{3y^{2}}{2}+2y]_{0}^{1}$ = $\pi [\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2] = \frac{5}{6}\pi$

Na meze u integrálu jsem přišla z obrázku podle osy y http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … %2F2%3Dy-1

jelena · 06. 04. 2013 20:34

↑ Smeegel111:

děkuji, značení ve vzorci je v pořádku, jen jsem si pro jistotu upřesnila.

Já mám dojem, že jsi ze zadaných funkci: $y=\sqrt{x-1}$ a $y=x-1$ zrovna inverzní funkce nevytvořila (od toho se také odvinou i meze, musí být na ose y). Jak jsi postupovala při zhotovení inverzních funkcí? Děkuji.

Smeegel111 · 06. 04. 2013 22:22

↑ jelena:

Inverzní fce mi vyšly $y=x^{2}+1$ a y=x+1, ale do vzorce jsem místo x napsala y aby mi to sedelo s dy, u inverzní fce mi vyšly meze na ose y od 1 do 2:

V= $\pi \int_{1}^{2}(y^{2}+1)^{2}-(y+1)^{2} dy$ = $\pi \int_{1}^{2} (y^{4}+2y^{2}+1-y^{2}-2y-1)dy$ = $\pi \int_{1}^{2} (y^{4}+y^{2}-2y)$ = $\pi [\frac{y^{5}}{5}+\frac{y^{3}}{3}-y^{2}]_{1}^{2} = \pi [(\frac{32}{5}+\frac{8}{3}-4)-(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-1)]_{1}^{2}$ = $\frac{83}{15}\pi$

obrázek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B1%3Dx%2B1

Smeegel111 · 06. 04. 2013 22:30

↑ jelena:

A ještě nevim, jestli meze dělat podle grafu, jak t vidím na y nebo dát mezi fce = a vypocitat to, to by totiž meze vyšly 0 a 1 a ne 1,2. S mezemi 0 , 1 vyjde potom V = $\frac{23}{15}\pi$

Děkuji

jelena · 06. 04. 2013 22:47

↑ Smeegel111:

Inverzní funkce již jsou v pořádku. Ovšem, když se podíváš na obrázek, tak nejdřív pomocí přímky vyrotuješ komolý kužel, potom z něho "odrotuješ vnitřek misky" (pomocí paraboly). Tedy samotné rotační těleso je taková skořápka (ve vzorci odečtu objem kuželu minus objem vnitřní misky, naopak, než máš).

Meze po $y$ vezmu ještě z původního zadání, jak vidíme na obrázku (tedy $c=0$ , $d=1$ ). Zkus se ještě podívat na odkaz z VŠB.

Smeegel111 · 07. 04. 2013 10:02

↑ jelena:

Dobře děkuji, takže výsledek bude $\frac{7}{15}\pi$

jelena · 07. 04. 2013 13:08

↑ Smeegel111:

počítat jsem už poslala stroj, dle vzorce pro výpočet, co jsme sestavili - myslím, že v pořádku.

Smeegel111 · 07. 04. 2013 13:21

↑ jelena:

Děkuji za pomoc :)

jelena · 07. 04. 2013 13:27

↑ Smeegel111:

také děkuji, označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2013 15:53

Výpočet objemu pomocí integrálů

#2 06. 04. 2013 18:29

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#3 06. 04. 2013 20:11

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#4 06. 04. 2013 20:34

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#5 06. 04. 2013 22:22

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#6 06. 04. 2013 22:30

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#7 06. 04. 2013 22:47

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#8 07. 04. 2013 10:02

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#9 07. 04. 2013 13:08

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#10 07. 04. 2013 13:21

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

#11 07. 04. 2013 13:27

Re: Výpočet objemu pomocí integrálů

Zápatí