Matematické Fórum

bejf · 07. 04. 2013 15:39

Ahoj, tak trochu si nejsem jistý, jak se dál postupuje ve výpočtu.
Mám řešit rovnici v C:
$x^2+ |x|=0$
Pokud budu uvažovat komplexní číslo $x=a+bi$ , tak si to můžu přepsat jako:
$(a+bi)^2+ \sqrt{a^2+b^2}=0$ (1)
Protože $x$ je komplexní číslo a $|x|$ je reálné.

Pak dostávám:
$a^2+2abi-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0$

Pak jsem zjistil, že se postupuje tak, že si rozdělím rovnici na část reálnou a imaginární.

Imaginární
$2abi=0$

Reálná
$a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0$

Mám to zatím dobře nebo už někde dělám chybu? Díky.

byk7 · 07. 04. 2013 15:42

↑ bejf:

máš to dobře

bejf · 07. 04. 2013 16:11 — Editoval bejf (07. 04. 2013 16:15)

↑ byk7:
Dobře.

Z imaginární části dostanu tedy $b=0$ a dosadím do reálné části.
Ta mi vyjde:
$a^2+\sqrt{a^2}=0$
Odsud:
$a^2-a\Rightarrow a(a-1)$ nebo $a^2+a=0 \Rightarrow a(a+1)=0$
Tedy $a_{1}=0,a_{2}=1,a_{3}=-1$
$a=0\nl 0^2+|0|=0$
Kořen a=0 platí.
$a=1\nl 1^2+|1|=0\nl 2\not=0$
Kořen a=1 neplatí.
$a=-1\nl (-1)^2+|-1|=0\nl 2\not=0$
Kořen a=-1 neplatí.

Takže když teď dosadím $a=0$ do $x=a+bi$ a $|x|=\sqrt{a^2+b^2}$ , tak dostanu:
$x=0+bi$ odsud $b=1$
$|x|=\sqrt{b^2}\nl |x|=\pm b$
Odsud $b=-1$
Takže $b_{1}=0, b_{2}=1, b_{3}=-1$ .

Tedy $x_{1}=0, x_{2}=i, x_{3}=-i$ . Správně?

LukasM · 07. 04. 2013 16:24 — Editoval LukasM (07. 04. 2013 16:25)

↑ bejf:
Řešení je snad dobře, ale ten postup mi přijde takový všelijaký. Jak třeba z $x=0+bi$ plyne b=1? Navíc když jsi na samém začátku předpokládal, že b=0? (Z "im. části" mj. neplyne že b=0, plyne z ní, že a nebo b je nulové. Je potřeba zkusit obě možnosti.)

To řešení se různě větví, a ty to minimálně špatně popisuješ. Ale myslíš to možná dobře.

bejf · 07. 04. 2013 16:50

↑ LukasM:
Mně to právě taky přijde takové všelijaké. Správný výsledek má být $x_{1}=0, x_{2}=i, x_{3}=-i$ .
Vůbec s tímto postupem se teprve seznamuji, takže na to koukám trochu jako puk. :-)

zdenek1 · 07. 04. 2013 17:32

↑ bejf:
Takže "učesané" by to mělo být nějak takto:
Z $2ab=0$ plyne
a) $a=0$ nebo b) $b=0$

a) dosazením do $a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0$ dostáváš
$|b|-b^2=0$
$b=0$ nebo $b=\pm1$

b) doszením
$a^2+|a|=0$
$a=0$

řešení: $x_1=0+0i=0$
$x_2=0+i=i$
$x_3=0-i=-i$

varianta b) je opakováním první varianty a).

bejf · 07. 04. 2013 18:07

↑ zdenek1:
Jo tak už mi asi svitlo. :-)

Vyjde mi tedy $b=0$ nebo $b=\pm 1$ a to dosadím pro zkoušku ještě do $|b|-b^2=0$ -> při všech třech kořeny dávají platnou rovnost.

Pak u b) mi vyjde taky $a=0$ nebo $a=\pm 1$ a to dosadím pro zkoušku zas do $a^2 +|a|=0$ -> u těchto kořenů splňuje rovnost jen $a=0$

Takže proto má rovnice celkem ty tři kořeny, jak jsi psal. :-)

LukasM · 08. 04. 2013 09:34

↑ bejf:
Ano. Jen doplním, že tu zkoušku netřeba dělat. Stačí si uvědomit, jak že se to řeší rovnice s abs. hodnotou.

$a^2+|a|=0$ je pro a>=0, ekvivalentní s $a^2+a=0$ - takže když z této upravené rovnice vyjde kořen, který je záporný, pak není řešením původní rovnice. Všechny nezáporné už jsou. Obdobně pro a<=0 je ta rovnice ekv. s $a^2-a=0$ (protože pokud je a záporné, tak mu abs. hodnota změní znaménko). Takže když z této rovnice vyjde kladný kořen, není řešením původní rovnice. Nekladné kořeny ano.

Zkouška samozřejmě udělá stejnou službu, ale je dobré si uvědomit proč se to vlastně takhle řeší.

bejf · 08. 04. 2013 10:33

↑ LukasM:
No to je dobrej poznatek. Díky. :-)

Rumburak · 08. 04. 2013 10:40

↑ bejf:
Zkusme to ještě jinak.

1) Snadno nahlédneme, že rovnici

(1) $x^2+ |x|=0$

řeší $x = 0$ .

2) Hledejme nenulové řešení rovnice (1). To se dá vyjádřit v goniometrickém tvaru $x = r(\cos\xi + \mathrm{i} \sin\xi)$ ,
kde $r = |x| > 0$ , $\xi \in [0, 2\pi)$ . Dosazením do (1) a s použitím Moivreovy věty máme

$[r(\cos\xi + \mathrm{i} \sin\xi)]^2+ r=0$ ,

$r^2(\cos2\xi + \mathrm{i} \sin2\xi)+ r=0$ ,

(2) $r^2\cos2\xi + r + \mathrm{i}\, r^2 \sin2\xi=0$ .

Levá strana v (2) je tedy komplexní číslo s reálnou částí $R = r^2\cos2\xi + r$ a imag. částí $I = r^2 \sin 2\xi$ . Ke splnění (2)
je proto nutné a postačuijící, aby $R=I=0$ . Dostáváme tak soustavu

(3) $r^2\cos2\xi + r = 0 , r^2 \sin 2\xi = 0$ .

O čísle $r$ předpokládáme v tomto kroku, že je kladné, proto jím můžeme dělit. Z druhé rovnice soustavy (3) tak dostáváme $\sin 2\xi = 0$ ,
odtud (vzhledem k podmínce $\xi \in [0, 2\pi)$ ) $\xi = \pi \vee \xi = \frac{\pi}{2} \vee \xi = \frac{3\pi}{2}$ .

Tato dílčí řešení nyní postupně dosadíme do první rovnice soustavy (3) . Dostaneme tak

a) $\xi = \pi$ : $\cos 2\xi = \cos 2\pi = 1$ , takže $r^2 + r = 0$ , avšak tato rovnice nemá kladné řešení;

b) $\xi = \frac{\pi}{2}$ : $\cos 2\xi = \cos \pi = -1$ , takže $-r^2 + r = 0$ , odtud $r = 1$ ;

c) $\xi = \frac{3\pi}{2}$ : $\cos 2\xi = \cos 3\pi = -1$ , takže $-r^2 + r = 0$ , odtud $r = 1$ .

ZÁVĚR: Rovnice $x^2+ |x|=0$ má v oboru komplexních šísel tyto kořeny:

$x_1 = 0$ ,

$x_2 = \cos \frac{\pi}{2} + \mathrm{i}\,\sin \frac{\pi}{2} = \mathrm{i}$ ,

$x_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + \mathrm{i}\,\sin \frac{3\pi}{2} = -\mathrm{i}$ .