Matematické Fórum

Katty000 · 08. 04. 2013 16:46

Dobrý den, prosím o radu, jak postupovat pro vyřešení následujícího příkladu.

Světelné paprsky dopadají ze vzduchu na skleněnou kulovou plochu o poloměru +r a indexu lomu 1,5. Do jaké vzdálenosti před danou plochu musíme umístit předmět, aby jeho obraz byl za kulovým rozhraním stejně daleko jako předmět před ním? Vypočítejte dále příčné zvětšení a ohniskové vzdálenosti kulové plochy.

Za jakékoli rady budu vděčná. Předem děkuji.

Katty000

Vychazim ze zobrazovaci rovnice kulove plochy: $\frac{n'}{x'}-\frac{n}{x} = \frac{n'-n}{r}$ Zasekla jsem se u urceni druheho indexu lomu. Zadany index lomu je n2=1,5. Vypliva ten druhy index lomu nejak ze zadani, nebo podle ceho se urcuje?

Moc dekuji Katy.

martisek · 08. 04. 2013 18:37

↑ Katty000:

Podle mě tam žádný druhý index lomu není potřeba - je tam jenom jedno rozhraní vzduch - sklo. Jinak index lomu pro případ sklo - vzduch je roven (pokud se nemýlím) převrácené hodnotě.

Katty000 · 08. 04. 2013 18:51

↑ martisek:
Dekuji - vzduch :) Index lomu pro vzduch je roven ~1. V tomto pripadu jen dosadim do rovnice $\frac{n_2}{x'} - \frac{n_1}{x} = \frac{n_2 - n_1}{r} => \frac{1,5}{x'}-\frac{1}{x} = \frac{1,5 - 1}{r}$
Premyslim spravne?

martisek · 08. 04. 2013 19:14

↑ Katty000:

V tom případě to n a n' lze podle mě brát relativně vzhledem ke vzduchu, tj. n=1; n'=1,5.

Katty000

Kdyz jsem dosadila do rovnice od kolegy x by mela rovnice vypadat takto:

$\frac{n'}{x'}-\frac{n}{x} = \frac{n'-n}{r}\Rightarrow\frac{1}{x'}=-\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{-n_2}{x'}-\frac{n_1}{x}=\frac{-n_2-n_1}{r}=\frac{(-n_2-n_1)}{x}= \frac{n_2-n_1}{r}$
$\Rightarrow (-n_2-n_1)*r = (n_2-n_1)*x\Rightarrow (-1,5-1)*r=(1,5-1)*x \Rightarrow -2,5r = 0,5x \Rightarrow x=-5r$

Ale neumim si vysvetlit ten druhy krok za -> jak dostanu to $\frac{1}{x'}=-\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{-n_2}{x'}-\frac{n_1}{x}$

A jak eliminuji x' z teto rovnice? $\frac{n_2}{x'} - \frac{n_1}{x} = \frac{-n_2-n_1}{r}$

Mohl by jsi mi prosim vysvetlit co se v druhem s tretim kroku deje? (prvni cast rovnice) Zbytek rovnice je pomerne jasny.
Dekuji :)

medvidek · 09. 04. 2013 01:30

↑ Katty000:
Zápis Tvého kolegy je trochu nepřehledný. Vycházej raději z toho, co už máš, na co jsi přišla v příspěvku #4:
$\frac{1,5}{x'}-\frac{1}{x} = \frac{1,5 - 1}{r}$

Podle zadání má být vzdálenost předmětu před plochou (x') rovna vzdálenosti jeho obrazu za plochou (x). Je ovšem potřeba dodržet znaménkovou konvenci (vzdálenosti před a za plochou mají opačná znaménka):
$x' = -x$
Po dosazení za x' tedy bude
$\frac{1,5}{-x}-\frac{1}{x} = \frac{1,5 - 1}{r}$
A z toho
$x=-5r$

Příčné zvětšení sférické lomivé plochy je dáno následujícím poměrem vzdáleností
-(střed křivosti plochy <-> obraz) : (předmět <-> střed křivosti plochy).
Konkrétně tedy $Z=-\frac{|x'|-r}{|x|+r}=-\frac{5r-r}{5r+r}=-\frac23$

Výpočet přední resp. zadní ohniskové vzdálenosti spočívá ve volbě $x'=\infty$ resp. $x=\infty$ v zobrazovací rovnici.