Matematické Fórum

johnnyl · 09. 04. 2013 15:27

Zdravím,
budu mít asi trochu jiný požadavek než ostatní. Potřeboval bych vědět, kde se ve fyzice používají aproximace (jakékoliv) a speciálně jestli lze někde uplatnit Taylorův polynom. Stačí mi např. nějaký "pěkný" vztah (funkční závislost), který je složitější na vyčíslení a je výhodnější použít Taylora. Nepožaduji žádné řešení (alespoň doufám), pouze motivaci :-)

Jinak aproximace by mě zajímaly obecně - nejlíp nějaký konkrétní příklad, kde musíme něco nahrazovat nebo zanedbat.

Předem děkuji.

LukasM · 09. 04. 2013 15:55

↑ johnnyl:
Žiju v domnění, že třeba kalkulačky pomocí TP počítají hodnoty třeba goniometrických funkcí. Možná ale, že existuje nějaká efektivnější metoda.

Jinak pokud ti jde o fyziku, tak tam je příkladů hromada. Jako velmi jednoduchý příklad poslouží pohybová rovnice matematického kyvadla (hmotný bod na nehmotném závěsu). Ta vypadá takhle:
$\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\frac{g}{l}sin\varphi=0$ . Ta sice analytické řešení má, ale pokud se použije linearizace toho sinu, je to podstatně příjemnější výpočet - ovšem za cenu toho, že pro větší úhly se řešení čím dál více vzdaluje od skutečného, protože aproximace je stále nepřesnější.

johnnyl · 09. 04. 2013 16:30

↑ LukasM:
Ano, goniometrické funkce nebo logaritmy jsou myslím v kalkulačce vyčísleny pomocí TP.

Mým cílem je na nějakém příkladu demonstrovat Taylorův polynom, ale nechci jen vymyslet nějakou funkci, chci, aby to vyplynulo z nějaké slovní úlohy, popř. praktického problému. Jak jsem psal, v podstatě mi stačí jakýkoliv složitější vztah (takový, kde se vyplatí aproximovat).

Jinak matematické kyvadlo znám a vím, že se sin pro výchylky do 5° aproximuje lineárně. Ale chtěl bych jednodušší příklad, pokud možno ne diferenciální rovnici :-)

LukasM · 09. 04. 2013 20:12 — Editoval LukasM (09. 04. 2013 20:12)

↑ johnnyl:
No ty jsi náročnej..

Znáš relativistický vztah pro kinetickou energii? $E_k=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2$
Tak si ho roztayloruj pro malé rychlosti a ukaž, že při zanedbání členů vyššího než druhého řádu přejde ve vztah známý z klasické mechaniky.

zdenek1 · 09. 04. 2013 20:29

↑ johnnyl:
Co se inspirovat tady

To je jen nápad, netvrdím, že to bude vhodné.

johnnyl · 09. 04. 2013 23:28

↑ LukasM:
No teď už ho znám :-)
Ale chtěl bych si ujasnit, jestli tomu správně rozumím: Takže kinetickou energii vezmu jako funkci proměnné $v$ a budu ji aproximovat na okolí bodu nula. Konkrétně
$f(v)=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2$ , dále spočítám první a druhou derivaci, tedy
$f'(v)=\frac{m_0v}{\sqrt{\bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\bigr)^{3}}},\quad f''(v)=m_0\Biggl(\frac{1}{\sqrt{\bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\bigr)^3}}+\frac{2v^2}{c^2\sqrt{\bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\bigr)^5}}\Biggr)$ a dosadím $v=0$ :
$f'(0)=0,\quad f''(0)=m_0$ . Taylorův polynom druhého řádu by měl vypadat asi takto:
$T_2(v)=m_0c^2-m_0c^2+0+\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0v^2$ .
Je postup v pořádku? Výsledek by měl být správný, jelikož si matně vzpomínám, že v klasické mechanice něco podobného pro kinetickou energii platí :-)

LukasM · 09. 04. 2013 23:37

↑ johnnyl:
Výsledek je dobře, postup asi ne, první derivace je špatně, viz tady.

Pokud ovšem ten vztah neznáš, a i na klasický vztah si jen matně vzpomínáš, tak asi tu korespondenci neoceníš:-)

johnnyl

↑ zdenek1:
Ano, je to celkem pěkný příklad na aproximaci. Přestože už to tam je popsané, rád bych si to ještě ujasnil: Aproximaci provádíme z toho důvodu, aby se x ve vztahu pro sílu vyskytovalo lineárně, tudíž síla bude přímo úměrná výchylce a tudíž kmitání bude harmonické. Je to tak?

A neexistuje třeba podobný příklad, ale s jednodušším zadáním?

LukasM · 09. 04. 2013 23:43

↑ johnnyl:
Ano, přesně proto se to dělá. Kdyby tam ta nelineární závislost zůstala, tak budeme mít velké problémy při pokusu o vyjádření periody kmitů. Je to velmi podobné tomu matematickému kyvadlu, vlastně je to stejné. Máš nějaký problém (kyvadlo nebo píst), a protože vyřešit ho je složité, uděláš nějakou aproximaci kterou ten problém převedeš na něco, co už znáš (v obou případech na kmitání na pružině).

johnnyl · 10. 04. 2013 00:02

↑ LukasM:
No ale v čitateli máš $mc$ místo $mc^2$ . Derivoval jsem toto:

Jinak vztah pro kinetickou energii si ještě pamatuju :-) Ale je už to dost dlouho, co jsem ho naposled viděl. No a ve speciální teorii relativity jsem daný vztah nenašel (ani v sešitě, ani v učebnici).

Jinak tento příklad je celkem pěkný, ale kdyby byl ještě nějaký další, nezlobil bych se :-)

LukasM · 10. 04. 2013 00:16

↑ johnnyl:
Jasně, promiň. Já jsem to kontroloval nejdřív z hlavy, a protože se mi to nějak nezdálo, tak jsem to zadal do wolframu - bohužel špatně. Takže je to ok. Nezlob se.

johnnyl · 10. 04. 2013 16:30

↑ LukasM:
Jo, v pohodě :-)

Kdyby měl ještě někdo nějaký nápad, budu rád, když ho sem přidá.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2013 15:27

Aproximace, Taylorův polynom

#2 09. 04. 2013 15:55

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#3 09. 04. 2013 16:30

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#4 09. 04. 2013 20:12 — Editoval LukasM (09. 04. 2013 20:12)

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#5 09. 04. 2013 20:29

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#6 09. 04. 2013 23:28

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#7 09. 04. 2013 23:37

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#8 09. 04. 2013 23:39 — Editoval johnnyl (09. 04. 2013 23:41)

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#9 09. 04. 2013 23:43

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#10 10. 04. 2013 00:02

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#11 10. 04. 2013 00:16

Re: Aproximace, Taylorův polynom

#12 10. 04. 2013 16:30

Re: Aproximace, Taylorův polynom

Zápatí