Matematické Fórum

erik1131

Dobrý den. Před nedávnem jsme psali test na tohle téma a měl jsem za 1, ale přesto jsem se teď zasekl při velmi jednoduché nerovnici s abs. hodnotou.
Má to vyjít x leží v R. Za pomoc při hledání chyby bych byl velice vděčný.
$|x+2|+1>x$

nejsem_tonda · 13. 04. 2013 17:35

Ahoj,
hledat chybu nelze, kdyz nenapises svuj postup.

Nicmene postupuje se obycejne: podivame se na znamenko toho, co je uvnitr absolutni hodnoty.
1) Je-li $x+2\geq0$ , pak resime nerovnici $x+2+1>x$ , jejimz resenim jsou vsechna realna cisla. Diky tomu vime, ze vsechna x splnujici $x+2\geq0$ jsou resenim.
2) Je-li $x+2<0$ , pak resime nerovnici $-x-2+1>x$ , jejimz resenim jsou vsechna cisla x splnujici $-1/2>x$ . Vsechna x splnujici $x+2<0$ vyhovuji i posledne zminene nerovnosti, takze vsechna takova x jsou resenim.

Dohromady sloucenim 1) a 2) dostavame, ze vsechna realna cisla jsou vskutku resenim.

Arabela · 13. 04. 2013 17:50

Ahoj ↑ erik1131:,
riešenie pomocou definície absolútnej hodnoty.
Rozlíšime dva prípady:
a) $x+2 \geq 0 .............. x \geq -2$
Potom platí $|x+2|=x+2$ .
Nerovnica prejde na tvar
$x+2 > x-1$
$2 >-1$
$x\in R$
Keďže sme riešili za predpokladu $x \geq -2$ , riešením na danom intervale je celý daný interval: $K_{a}=<-2;\infty )$ .
b) $x+2<0 ...............x<-2$
$|x+2|=-(x+2)=-x-2$
$-x-2>x-1$
$x<-\frac{1}{2}$
$K_{b}= (-\infty ;-2) \cap (-\infty ;-\frac{1}{2})=(-\infty ;-2)$
$K=K_{a}\cup K_{b}=(-\infty ;-2)\cup <-2;\infty )=R$

erik1131

↑ nejsem_tonda:

Aha. Tak už to vidím. Ja jsem totiž označil, že podmínka $x+2+1>x$

$3>0$ je prázdná množina

jarrro · 13. 04. 2013 18:01

alebo aj jednoduchšie sa dá
$\left|x+2\right|+1>x\nl\left|x+2\right|+3>x+2$
posledná nerovnosť platí pre každé reálne číslo pretože
$$\forall a\in\mathrm{R}$$\left|a\right|\geq a$$
a keď k absolútne hodnote sa ešte pripočíta kladné číslo tak sme hotoví

erik1131 · 13. 04. 2013 18:06

↑ jarrro:
Děkuju moc, ale tomuto moc nerozumím (1. ročník gympl)
Ale vypadá to fakt kratší. A je nějaký rozdíl, když mi vyjde 3>0 a -2<1 ? Stále to platí, že celé R se dá dosadit, či?

LukasM · 13. 04. 2013 18:22

↑ erik1131:
Oba výrazy cos napsal platí, naprosto nezávisle od hodnoty x. Takže ano.

Jinak to jarrrovo je fakt jednodušší, a proč, to ti napsal. Nejdřív si k obou stranám přičetl dvojku, čímž na pravé straně dostal přesně vnitřek té. abs. hodnoty. A pak si řekl, že abs. hodnota z čísla je vždycky stejná nebo větší než to číslo. Takže pokud navíc k té abs. hodnotě přičtu trojku, tak ta levá strana bude vždycky větší než pravá (alespoň o tři). Takže nerovnice je pro jakékoli x splněna.

erik1131 · 13. 04. 2013 18:23

Moc Vám děkuji :-)

nejsem_tonda · 13. 04. 2013 18:26

A je nějaký rozdíl, když mi vyjde 3>0 a -2<1 ? Stále to platí, že celé R se dá dosadit, či?

Pravdepodobne to myslis dobre a odpoved je potom, ze v tom rozdil neni a ze se skutecne kazde realne cislo da dosadit.

Neni pro me ale uplne srozumitelne ptat se na rozdil mezi 3>0 a -2<1. Doporucuju vzdy pripisovat vyraz 0x a vzdy rikat, co delame, jestli treba hledame vsechna x, pro nez plati $-2+0x<1$ , nebo jestli treba jen chceme vedet, zda plati tvrzeni -2<1. Ve druhem pripade by nemelo zadny smysl mluvit o nejakem dosazeni. To je jen tvrzeni, ktere bud pravdive je (nas pripad) nebo neni.

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2013 16:18 — Editoval erik1131 (13. 04. 2013 16:19)

Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#2 13. 04. 2013 17:35

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#3 13. 04. 2013 17:50

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#4 13. 04. 2013 17:58 — Editoval erik1131 (13. 04. 2013 17:59)

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#5 13. 04. 2013 18:01

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#6 13. 04. 2013 18:06

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#7 13. 04. 2013 18:22

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#8 13. 04. 2013 18:23

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

#9 13. 04. 2013 18:26

Re: Zdánlivě jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou

Zápatí