Matematické Fórum

The_Founder · 23. 04. 2013 21:39

Čaute všetci,
mám s touto sústavou rovníc značný problém. Úprimne ani neviem ako mám začať...
$x^{y+4x}=y^{5(y-\frac{x}{3})}$
$x^{3}=y^{-1}$

teolog · 23. 04. 2013 22:08

↑ The_Founder:
Zdravím,
to je celkem divočina. Jste si jist zadáním? A jde skutečně o středoškolský příklad?

The_Founder · 23. 04. 2013 22:12

Čauko ↑ teolog:,
zadanie je správne. Príklad je z knihy na prípravu na Ekonomickú Univerzitu v BA, čiže teoreticky by to mal vedieť aj stredoškolák:))

teolog · 23. 04. 2013 22:15

↑ The_Founder:
Tak to nevím. Já si vyjádřil z druhé rovnice y a dosadil do první rovnice. Dostal jsem:
$x^{4x+x^{-3}}=\frac{1}{x^{15(x^{-3}-\frac{x}{3})}}$ a wolfram vyhodil toto.

The_Founder · 23. 04. 2013 22:18

↑ teolog:
podľa výsledku $\{[1;1];[2;\frac{1}8{}]\}$ by tam mala byť použitá substitúcia, ale neviem si predstaviť aká...

jelena · 23. 04. 2013 22:27

Zdravím vás,

zkuste obě rovnice zlogaritmovat - je to vidět? Děkuji.

The_Founder · 23. 04. 2013 22:31

↑ jelena: idem to skúsiť

The_Founder · 23. 04. 2013 22:32

↑ jelena: Mohla by si mi načrtnúť, čo myslíš??

jelena · 23. 04. 2013 22:35

↑ The_Founder:

Již jsi zlogaritmoval levou a pravou stranu obou rovnic? Co vyšlo?

The_Founder · 23. 04. 2013 22:41

↑ jelena: Nič mi nevyšlo. Musím sa priznať, že to neviem zlogaritmovať. Môžeš mi prosím ťa rozpísať ako sa má spraviť??

jelena · 23. 04. 2013 22:52

↑ The_Founder:

a jinak umíš řešit rovnice logaritmováním? Např. $3^x=2^{x+1}$

$x^{y+4x}=y^{5(y-\frac{x}{3})}$
$x^{3}=y^{-1}$

--------------------po logaritmování se základem 10 (např.) mám:
$(y+4x)\log x=5(y-\frac{x}{3})\log y$
$3\log x=-\log y$ , odsud $\log y = -3\log x$ a dosadím do 1. rovnice

$(y+4x)\log x=-15(y-\frac{x}{3})\log x$

Teď to upravit do součinového tvaru s anulovanou pravou stranou - podaří se? Děkuji.

zdenek1 · 23. 04. 2013 22:52

↑ The_Founder:
po zlogaritmování
$\begin{cases}(y+4x)\log x=5(y-\frac x3)\log y\\3\log x=-\log y\end{cases}$
Ze druhé rovnice dosadíš do první za $\log y$ a řešíš dvě varianty
a) $\log x=0$
b) $\log x\ne 0$

jelena · 23. 04. 2013 22:54

↑ zdenek1:

Zdravím, to se omlouvám za předběhnutí - smím nechat? Děkuji :-)

The_Founder

↑ jelena:
dostal som iba sem
$y(log x +15log x)=x(5log x-4log x)$
$y(log x^{16})=x(log x)$ a teraz neviem čo s tým... bohužiaľ...
PS: Tvoj príklad viem spočítať :))
Ale na túto úpravu neviem prísť

jelena · 23. 04. 2013 23:39

↑ The_Founder:

toto je velmi záhadná úprava. Z kolegou ↑ zdenek1: jsme logaritmovali - je jasné jak?

Potom pokračuji:
$(y+4x)\log x=-15(y-\frac{x}{3})\log x$
$(y+4x)\log x+15(y-\frac{x}{3})\log x=0$
$\log x(y+4x+15(y-\frac{x}{3}))=0$

součin se rovná 0, když atd. Rozbor "druhá závorka"=0 se musí opět spojit do soustavy rovnic s $x^{3}=y^{-1}$ .

The_Founder

↑ jelena:
moja úprava
$(y+4x)\log x=-15(y-\frac{x}{3})\log x$ roznásobil som to
$y log x+4x log x=-15y log x + 5x log x$ $y$ a $x$ som dal na rôzne strany a vytkol som ich
$y(log x+15log x)=x(5log x-4 log x)$ potom som sčítal, resp. odčítal logaritmy
$y(log x^{16})=x(log x)$

a teraz neviem čo s tým...

Tvoj posledný príspevok chápem, ale neviem čo tým získam...

PS: Dal som do Wolfram|Alpha túto sústavu Odkaz
$y(log x^{16})=x(log x)$
$log y=-3 log x$
a vyšiel správny výsledok. Čiže zatiaľ boli úpravy správne, len opäť neviem ako mám ďalej pokračovať...

jelena · 24. 04. 2013 00:06

↑ The_Founder:

máme to úplně stejně: když upravíš 2. závorku zde: $\log x(y+4x+15(y-\frac{x}{3}))=0$ nebo když použiji Tvůj předposlední řádek:

$y(\log x+15\log x)=x(5\log x-4 \log x)$
$y(16\log x)=x(\log x)$
$y(16\log x)-x(\log x)=0$ vytknu log(x)
$\log x(16y-x)=0$ máš rovnici v součinovém tvaru, je jasné jak pokračovat?

Pro závorku (16y-x)=0 doplním do soustavy $x^{3}=y^{-1}$ . Všechno jasné? Děkuji.

The_Founder · 24. 04. 2013 00:14

↑ jelena:
Neviem čo sem mám dosadiť... $x^{3}=y^{-1}$ ...

jelena · 24. 04. 2013 00:26

↑ The_Founder:

máš 2 řešení:
1) $\log x=0$ , odsud $x=1$ a dopočteš y z rovnice $x^{3}=y^{-1}$ .
2) $16y=x$ a zároveň $x^{3}=y^{-1}$ , odsud $x^{3}=\frac{16}{x}$

Už v pořádku?

The_Founder · 24. 04. 2013 10:09

Prepáč ↑ jelena:,
ale neviem odkiaľ si vykúzlila $\log x=0$ a keď potom $x=1$ dosadíš do $x^{3}=y^{-1}$
tak ti výjde
$1^{3}=y^{-1} \Rightarrow 1=y^{-1} \Rightarrow y^{0}=y^{-1} \Rightarrow 0=-1$ a to sa nerovná.
Takže dvojica $\{[1;1]\}$ je mimo mňa:((

Ale

$y(log x^{16})=x(log x)$
$\underline{\text{log y=-3 log x}}$

$log x^{16y}=x(log x)$
$\underline{\text{log y=-3 log x}}$

$x^{16y}=x^{x}$ $\Rightarrow$ $16y=x$ $\Rightarrow$ $y=\frac{x}{16}$
$y^{1}=x^{-3}$

To som dosadil do druhej rovnice a výsledok späť do prvej a mám dvojicu $\{[2;\frac{1}8{}]\}$

jelena · 24. 04. 2013 10:15

↑ The_Founder:

já jsem napsal(a):
máš rovnici v součinovém tvaru

$\log x(16y-x)=0$

----------------------------------------------------------
K posledním příspěvku: tak mi vyjde:

$1^{3}=y^{-1}$ umocním na (-1) a mám $y=1$ . Tak? Děkuji.

zdenek1 · 24. 04. 2013 10:16

↑ The_Founder:
a) ↑ jelena: má rovnici $\log x(16y-x)=0$
součin dvou čísel je nula, právě když aspoň jeden z činitelů je nula. Takže
$\log x=0$ nebo $(16y-x)=0$

První možnost: $\log x=0\ \Leftrightarrow \ x=1$
dosazení do $x^3=y^{-1}$
$1=y^{-1}=\frac1y\ \Rightarrow\ y=1$

(Máš pravdu, že $0\ne-1$ ALE $1^0=1^{-1}$ ).

The_Founder · 24. 04. 2013 10:24

Prepáč ↑ jelena:,
stále neviem odkiaľ si vykúzlila $\log x=0$ ale zvyšok riešenia mi už je jasné. Mohla by si mi to ozrejmiť prosím??

The_Founder · 24. 04. 2013 10:27

↑ zdenek1:
Už som to konečne pochopil:))
Ďakujem Vám obom za pomoc. Veľmi ste mi pomohli

teolog · 24. 04. 2013 12:12

I já děkuji za rozšíření obzoru. Stále se učím.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2013 21:39

Exponenciálna sústava rovníc

#2 23. 04. 2013 22:08

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#3 23. 04. 2013 22:12

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#4 23. 04. 2013 22:15

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#5 23. 04. 2013 22:18

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#6 23. 04. 2013 22:27

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#7 23. 04. 2013 22:31

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#8 23. 04. 2013 22:32

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#9 23. 04. 2013 22:35

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#10 23. 04. 2013 22:41

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#11 23. 04. 2013 22:52

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#12 23. 04. 2013 22:52

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#13 23. 04. 2013 22:54

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#14 23. 04. 2013 23:07 — Editoval The_Founder (23. 04. 2013 23:27)

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#15 23. 04. 2013 23:39

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#16 23. 04. 2013 23:52 — Editoval The_Founder (24. 04. 2013 00:03)

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#17 24. 04. 2013 00:06

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#18 24. 04. 2013 00:14

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#19 24. 04. 2013 00:26

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#20 24. 04. 2013 10:09

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#21 24. 04. 2013 10:15

Re: Exponenciálna sústava rovníc

já jsem napsal(a):

#22 24. 04. 2013 10:16

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#23 24. 04. 2013 10:24

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#24 24. 04. 2013 10:27

Re: Exponenciálna sústava rovníc

#25 24. 04. 2013 12:12

Re: Exponenciálna sústava rovníc

Zápatí