Matematické Fórum

miso_svk · 24. 04. 2013 08:52

Dobrý večer,
mám úkol na lineární algebru, který mi káže dokázat, že pokud operátor $A: V\overrightarrow{}V$ kde V je VP nad C, mám dokázat, že $A=0\Leftrightarrow \forall v\in V:(Av,v)=0$
Přemýšlel jsem, že bych aplikoval axiom z definice skalárního součinu, že $(\lambda v,u)=\lambda (v,u)$ což při volení $\lambda =0$ implikuje $(v,u)=0\Rightarrow v=0\vee u=0$ . Pak stačí dokázat, že $Av=0 \Leftrightarrow A=0$ . Zdá se mi to ale příliš jednoduché a dále je v úloze druhá část, která říká "Uveďte příklad reálného vektorového prostoru W a nenulového operátoru B na něm, který pro všechna w∈W splňuje (Bw,w)=0. ". Co se snaží pasivně říct, že takové B reálné existuje. Jak je to ale možné, když jsme dokázali, že takové A komplexní neexistuje, co by mělo být silnější tvrzení?
Děkuji

JohnPeca18 · 24. 04. 2013 10:41

jenom takove postrehy, nejsou nahodou A a B matice? v tom pripade by si nemohol pouzit ten axiom co uvadis. Taky prvni pripad musi platit pro vsechny komplexni vektory, ten druhy jenom pro realne vektory, takze ten druhy pripad by mohl platit. Skusil bych vyuzit nejak vlastnost $(Av,v)=\overline{(v,Av)}$ .

miso_svk

Ono já jsem nechtěl použít ten axiom na ten operátor(ono nemusí to být matice, to mám řešit obecně), ale tím dokázat to, že pokud předpokládáme, že $v\neq0 \wedge (Av,v)=0\Rightarrow A=0$ protože pokud $(Av,v)=0$ a pokud by platilo, že $(Av,v)=0 \Leftrightarrow Av=0\vee v=0$ tak by stačilo dokázat, že $Av=0\Leftrightarrow A=0$ , co by mělo být triviální, jelikož A je homomorfizmus, ale to asi neplatí, tedy kde mám chybu v přemýšlení?
Také pokud $A\in C \wedge A=0\Rightarrow A=0+i0$ co znamená, že by mělo platit i pro $\mathbb{R}$ ?

jarrro · 24. 04. 2013 14:46 — Editoval jarrro (24. 04. 2013 14:49)

niečo mi asi uniká, lebo z axiómov skoro priamo vyplýva
$\left(\forall v\right)\left(\left(x, v\right)=0\right)\Leftrightarrow x=0$
to, že $\left(\forall v\right)\left(Av=0\right)\Leftrightarrow A=0$ je predsa definícia nulového operátora

Stýv · 24. 04. 2013 15:03

1) implikace $(v,u)=0\Rightarrow v=0\vee u=0$ neplatí. platí obráceně, což je tak nějak samozřejmý a nejspíš k ničemu
2) $(v,u)=0$ znamená, že u a v jsou na sebe kolmý. jakej operátor zobrazí každej vektor v rovině na vektor k němu kolmej?

↑ jarrro: jenže ty nemáš k jednomu $x$ libovolný $v$ , ty máš k tomu $x=Av$ jenom takový $v$ , že $Av=x$

jarrro · 24. 04. 2013 16:30

↑ Stýv:aha fakt nepomôže to hlúpy som

jardofpr

ahojte

↑ miso_svk: predpokladám že sa bavíme o lineárnom operátore na komplexnom vekt.pr. so skalárnym súčinom,
ak nie tak to prosím upresni

implikácia $\Rightarrow$ by mala byť jasná, môj pohľad na tú druhú je nasledovný:

z predpokladu $(Av,v)=0\,,\,\forall v\inV$ je pre ľub. $x,y \in V\,,\,\alpha \in \mathbb{C}$

$0=(A(\alpha x + y),\alpha x + y)=|\alpha |^2(Ax,x)+\alpha (Ax,y)+\bar{\alpha}(Ay,x)+(Ay,y)$

z čoho plynie rovnosť $\alpha(Ax,y)+\bar{\alpha}(Ay,x)=0$

označme $(Ax,y)=:\beta \in \mathbb{C}$ a $(Ay,x)=:\gamma \in \mathbb{C}$

máme rovnosť $\alpha\beta+\bar{\alpha}\gamma=0$ ktorá má platiť pre ľub. $\alpha \in \mathbb{C}$

takže aj pre $\alpha=1$ a $\alpha=i$

Z toho sú potom dve rovnosti

$\mathrm{Re}(\beta)+i\mathrm{Im}(\beta)+\mathrm{Re}(\gamma)+i\mathrm{Im}(\gamma)=0$
$i\mathrm{Re}(\beta)-\mathrm{Im}(\beta)-i\mathrm{Re}(\gamma)+\mathrm{Im}(\gamma)=0$

z ktorých sa dá vytrieskať že $\gamma=\beta=0$

teda $(Ax,y)=(Ay,x)=0$

keďže $x,y$ boli ľubovoľné vektory z $V$ , musí byť $Ax=Ay=0$ .

EDIT

len komentár k tomu poslednému kroku:
stačí si uvedomiť že pre ľub. vektor $x\in V$ jeho obraz $Ax$ je tiež prvkom $V$
a ak sa vezme $y=Ax$ , potom táto schéma dáva na záver $(Ax,Ax)=0$ z čoho už je $Ax=0$ pre ľub. $x \in V$