Matematické Fórum

bonifax · 01. 05. 2013 01:08

Ahoj:), rád bych se Vás zeptal, jak by se řešila tato úloha? Řešil jsem totožnou úlohu akorát nádoba byla s víkem. Nějak tomu nerozumím, děkuji

Zadání:
66) Určete rozměry válcové nádoby bez víka tak aby při objeme 2 litry měla nádoba minimální povrch.

010010 · 01. 05. 2013 02:31 — Editoval 010010 (01. 05. 2013 02:41)

objem valca: $V=\pi r^2v$
povrch valca: $S=2\pi r(r+v)$ (nebudeme potrebovať)
povrch valca bez veka(bez jednej podstavy): $S=2\pi r(\frac{r}{2}+v)$ V tomto vzorci sme "stratili" veko.

Vieme: $2=\pi r^2v \Leftrightarrow v=\frac{2}{\pi r^2}$
chceme zistiť minimálny povrch, tak dosadíme do vzorca na výpočet povrchu, teda:
$v=\frac{2}{\pi r^2}$ do $S=2\pi r(\frac{r}{2}+v)$ máme $S= 2\pi r(\frac{r}{2}+\frac{2}{\pi r^2})= (\pi r^2+\frac{4}{r})=\frac{\pi r^3+4}{r}$
Prvá derivácia podľa premennej r sa rovná: $\frac{2\pi r^3-4}{r^2}$
Určíme stacionárne body(body, v ktorých sa prvá derivácia rovná nule).
Vidíme že jeden bod je $r=0$ ale to nieje naše hľadané číslo, pretože táto hodnota nemá zmysel.
Druhý bod zistíme $2\pi r^3-4=0$ teda $r=\sqrt[3]{\frac{2}{\pi }}$ , ľahko sa overí, že tento bod je lokálne minimum.
Takže poznáme polomer. Dosadíme ho do pôvodnej rovnice, pre výpočet objemu, a dopočítame výšku nášho valca. Teda: $v=\frac{2}{\sqrt[3]{4\pi }}$

bonifax · 01. 05. 2013 16:12

Ahoj, velmi hezké, děkuji moc:) ještě bych se rád zeptal na malý detail.

Týká se to dopočítání výšky. Na kalkulačce to vychází dobře. Jen nechápu přesnou úpravu do té podoby, kterou jsi uvedl.

$v=\frac{2}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi*3\sqrt{\frac{2}{\pi }}^2}=...$

$=\frac{2}{\sqrt[3]{4\pi }}$

010010 · 01. 05. 2013 16:28

↑ bonifax:
$\frac{2}{\pi (\sqrt[3]{\frac{2}{\pi }})^2}=\frac{2}{\pi \sqrt[3]{\frac{4}{\pi ^2}}}=\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4\pi ^3}{\pi ^2}}}$
Vieme totiž že $\sqrt[3]{\pi ^3}=\pi$ a $\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}$

bonifax · 01. 05. 2013 16:43

↑ 010010:

Hezké, už je mi to naprosto jasné:) příjemný den.

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2013 01:08

Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#2 01. 05. 2013 02:31 — Editoval 010010 (01. 05. 2013 02:41)

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#3 01. 05. 2013 16:12

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#4 01. 05. 2013 16:28

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#5 01. 05. 2013 16:43

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

Zápatí