Matematické Fórum

Kdyby byl nějaký postup moc stručný, dejte vědět a já ho rozepíšu detailněji.
Pokud najdete nějaké překlepy, budu rád, když mě na ně upozorníte.

Pokud si chcete ověřit postupy i z jiného zdroje, můžete se podívat zde na řešení na webu Nabla (autorem je Michal Staruch).

1) [1 b]





2) [1 b]
Rovnou kalkulačka:

Zlomky:




3) [1 b]


4) [max. 3 b]



5) [max. 2 b]






6) [1 b]

... můžu dělit



7) [1 b]


Přes normálový vektor:
... koeficienty u parametrů
... prohodíme souřadnice a u jedné změníme znaménko


Dosadíme a dostaneme bod přímky , dosadíme do obecné rovnice:




Přes směrnicový tvar:

Lineární člen určíme z bodu , takže . Směrnicový tvar

ekvivalentními úpravami předěláme na tvar obecný.

Jako soustavu rovnic:
,
dosadíme do vztahu pro y

a opět vše převedeme na levou stranu.

8) [max. 2b]

Souřadnice bodu B získáme přičtením vektoru k souřadnicím bodu C:


Pro souřadnice středu S strany AC platí



9) [max. 2 b]
Medián je hodnota uprostřed uspořádaného souboru, přesněji pro lichý počet prvků

a pro sudý počet
.
Sečtením výšek sloupců zjistíme, že soubor má 25 prvků, medián je tedy hodnota třináctého členu, což je 1.
Aritmetický průměr:


10) [1 b]

Obecně
,
pro nás tedy



11) [1 b]





12) [max. 2 b]






13) [max. 2 b]
Výkon linky je , .
Pracuje 2 dny na 25%, 2 dny na 50%, den na 100%, celkem vyrobí 720.



Za pět dní při plném výkonu tedy vyrobí


14) [max. 3 b]
... chlapci, ... dívky, ... družstvo

Chlapcům do družstva 12 přebývá, dívkám 1 chybí. Soustava


Druhou rovnici vynásobíme -1 a sečteme s první, dostaneme přímo

V oddílu je tedy celkem členů.

15) [max. 2 b]
V pravoúhlém trojúhelníku RPX určíme pomocí Pyth. v.

V pravoúhlém RPQ opět P. v.


16) [max. 2 b]
... ANO (je pravoúhlý)
... NE
... ANO
... ANO

17) [2 b] C
První troj. je tupoúhlý rovnoramenný, ortocentrum tedy leží vně (tzn. mimo obrazec).
Druhý troj. je ostroúhlý rovnoramenný, průsečík výšek leží uvnitř.
Třetí troj. je pravoúhlý, ortocentrum splývá s bodem u pravého úhlu a není tedy vně.
Čtvrtý troj. je opět tupoúhlý rovnoramenný.
... celkem 2 troj.

18) [2 b] E
Vrcholové úhly jsou shodné, tudíž



19) [2 b] D




20) [2 b] B
Ve válci platí
,
kde je obsah podstavy. Dosazením

Voda dosahuje pouze 3/4 výšky, takže


21) [2 b] A
Protáhneme-li rovné části obalu, dostaneme rovnoramenný trojúhelník. Spustíme-li ze středu jedné z kružnic kolmice na obal, vytvoří paty kolmic, vrchol velkého trojúhelníku a střed kružnice deltoid s úhly 90°, 90°, 60° a . Součet úhlů čtyřúhelníku je 360°, takže . Kružnice jsou celkem tři, takže trojnásobným započítáním oblouku se středovým úhlem dostaneme celou kružnici. Každá z rovných částí obalu má délku (po zmíněném zakreslení kolmic by to mělo být zjevné z obdélníků, které v náčrtku vzniknou). Celkový obsah obalu je obvod krát výška, takže


22) [2 b] B
Kód má celkem pět míst, z toho první a poslední je pevně dané - zajímají nás tedy pouze 3 místa. Dále je dáno, že číslice musí být různé - po použití číslic 8 a 5 jich zbývá už pouze osm. Jedná se tedy o variaci bez opakování třetí třídy z osmi prvků:


23) [2 b] C
Z 25 žáku je 10 připravených, učitel losuje 5. Ptají se nás na prvního vylosovaného žáka, údaj o celkovém počtu losovaných je tudíž nepodstatný. Pravděpodobnost, že bude první žák připraven, že počet připravených ku celkovému počtu, tedy


24) [2 b] E


Třetí člen zapíšeme jako , takže

.
Vylučovací metodou:
... správně
... správně
... správně
... správně
... v zadání je , takže špatně

25) [max. 4 b] B, F, D, A
Tohle je myslím zjevné, jen pro pořádek: koeficient lineárního členu určuje sklon (tangens, derivace), absolutní člen určuje posun po ose y - stačí tedy odečíst z grafu hodnotu funkce v x=0.

26) [max. 3 b] A, C, D