Matematické Fórum

Katsushiro

Jak vidím, kolegyně pode mnou už měla stejný dotaz, jen jiný příklad - pro přehlednost vytvářím nové téma.

Takže, mám rozebrat fci $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$

1) Definiční obor

$D_f = R \setminus \{-1,1\}$

2) Spojitost

Fce je spojitá na intervalech $(-\infty; -1)$ , $(-1;1)$ , $(1; \infty)$

3) Periodicita, sudost/lichost

Fce není periodická.

$\forall x \in D_f: f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 -1} = f(x)$

=> Fce je sudá.

$*D_F = <0;1) \cup (1; \infty)$ - Tady si nejsem jistý, učili jsme se něco ve smyslu, že pokud je fce sudá/lichá, prostě souměrná, stačí určovat jen jednu polovinu (tj. u mě kladnou část Df). Je to možné nebo je to úplná blbina? :D

4) 1. derivace, stacionární body, intervaly monotonie

$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 -1)^2}, D'_f = Df$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{-2x}{(x^2-1)^2} = 0$
$-2x = 0$
$x = 0$

Dále tedy počítám jen s onou polovinou Df:

Pro intervaly $<0;1)$ i $(1;\infty)$ je fce klesající, v 1 je bod nespojitosti.

5) Druhá derivace, konvexnost/konkávnost

$f''(x) = \frac{-2(x^2-1)^2}{(x^2-1)^4}$

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{-2(x^2-1)^2}{(x^2-1)^4} = 0$
$-2(x^2-1)^2=0$
$(x^2-1)^2=0$
$x^2-1 = 0$
$x_{1,2} = \pm 1$

Opět řeším jen na pravé polovině Df:

Na intervalech $(0;1)$ i $<1; \infty)$ je fce konkávní.

6) Lokální extrémy

Význačné body: 0;1

Fce nemá lokální extrémy.

7) Limity

body nespojitosti: -1;1
krajní hodnoty Df: -inf; +inf

$\lim_{x\to1^-} \frac{1}{x^2-1} = \lim_{x\to1^-} \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to1^-} \frac{1}{x-1} * \lim_{x\to1^-} \frac{1}{x+1} = \lim_{x\to1^-} \frac{1}{x+1} * (- \infty) = \frac{1}{2} * -\infty = -\infty$

$\lim_{x\to1^+} = \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{0} = +\infty$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{(x^2 -1)} = \frac{1}{\infty-1} = 0$

$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{\infty-1} = 0$

8) Asymptoty

$a = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x^2-1}}{x} = \frac{\frac{1}{\infty}}{\infty} = \frac{1}{\infty} = 0$

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2-1} = 0$

9) Významné body

Vyznamné body máme -1;0;1, jen 0 patří do Df.

$\frac{1}{x^2-1} = -1$

Tady mi lehce není jasné, co se to vlastně uvádí, myslí se tím průsečíky?

10) Náčrt za chvíli dodám :D

Jinak samozřejmě moc díky za všechny rady ;-)

010010 · 01. 05. 2013 16:07

↑ Katsushiro:
Áno, funkcia nemá lokálne extrémy.
Má práve jeden lokálny extrém, ten je v bode x=0.
Ako vidíme, chyba je v tvojom predpoklade "sudosti".
Druhá derivácia je podľa mňa špatne. Vychádza mi $\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}$ Wol.Alph. taktiež.

Katsushiro · 02. 05. 2013 21:04

↑ 010010:
Samozřejmě máš pravdu, musím si odvyknout to počítání na večer :D

Jen mi není jasný tvoje poznámka ohledně sudosti - tam mám chybu kde? :D

A jinak moc díky ;-)

010010 · 02. 05. 2013 21:17

↑ Katsushiro:
Mal som na mysli toto: "Tady si nejsem jistý, učili jsme se něco ve smyslu, že pokud je fce sudá/lichá, prostě souměrná, stačí určovat jen jednu polovinu "
Zrejme to nieje pravda. :)

Katsushiro · 02. 05. 2013 22:39

↑ 010010:
Asi jsem už ke konci semestru úplná lama nebo co, ale proč ne? :D V tom furt problém nevidím, prostě vyřeším st/klesání a konvexnost/konkávnost na jedné straně, a při náčrtu grafu to udělám symetricky na straně druhé, ne? :D

010010 · 03. 05. 2013 00:08

Áno, nieje to AŽ taký problém. Nakreslil si si tú funkciu ?
Ak je nakreslená správne, musel si zistiť, že ten lokálny extrém tam je.
Ty si ho úvahou sudosti funkcie vynechal, pretože si neuvažoval monotónnosť funkcie na intervale (-1,0) kde je funkcia stúpajúca. Na intervale (0,1) je klesajúca. Funkcia je spojitá v bode 0. Teda x=0 je stacionárny bod, ktorý je zároveň lokálny extrém.

frantax · 04. 05. 2013 22:14

Ahoj, zrovna VŠB ma tady http://www.studopory.vsb.cz/studijnimat … obsah.html

komentovane video, staci vyhledat "prubeh funkce"

Katsushiro · 07. 05. 2013 22:20

Vřelé díky všem, chtěl jsem tu hodit screen, ale bohužel, zkazil se mi scanner, takže budeme bez obrázku :-( Nicméně ještě jednou díky, snad to pomůže i někomu dalšímu :D

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2013 15:52 — Editoval Katsushiro (01. 05. 2013 15:58)

Průběh funkce - kontrola

#2 01. 05. 2013 16:07

Re: Průběh funkce - kontrola

#3 02. 05. 2013 21:04

Re: Průběh funkce - kontrola

#4 02. 05. 2013 21:17

Re: Průběh funkce - kontrola

#5 02. 05. 2013 22:39

Re: Průběh funkce - kontrola

#6 03. 05. 2013 00:08

Re: Průběh funkce - kontrola

#7 04. 05. 2013 22:14

Re: Průběh funkce - kontrola

#8 07. 05. 2013 22:20

Re: Průběh funkce - kontrola

Zápatí