Matematické Fórum

Alchiba · 04. 05. 2013 00:23

Uveďte příklad lineárního zobrazení C3 → C3, pro které je vektor u = (0,i,1) vlastním vektorem příslušným vlastní hodnotě λ = -1.
Mohl by mi, prosím, někdo poradit, jak to vyřešit?

Hanis · 04. 05. 2013 09:21

Ahoj,

jakékoliv lineární zobrazení lze napsat formou násobení maticí.
O vlastním vektoru víš, že se ti zobrazí na svůj lambda-násobek.
Tedy hledáš matici A 3x3 takovou, že Au=-u

Alchiba · 04. 05. 2013 11:21

↑ Hanis:
Ahoj,
tato úvaha mě také napadla, jen si nejsem jistá, jak přesně má taková matice A vypadat, navíc tak, aby splňovala podmínky lineárního zobrazení.

Hanis · 04. 05. 2013 12:03 — Editoval Hanis (04. 05. 2013 12:04)

Ahoj,
tak já jsem postupoval od konce. Vím, že pro vlastní číslo -1 musí mít rovnice $A-\lambda E$ řešení (0,i,1).

Takové řešení má např matice $\begin{pmatrix} 0 & 1 &-i \end{pmatrix}$

Řešení se mi nezmění, když tam budou lineárně závislé řádky:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -i \\ 0 & 1 & -i \\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix}$

No a to je matice A-(-1)E. Matice A je potom

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -i \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & 1 & -1-i \end{pmatrix}$

Neříkám, že je to jediný způsob, ale prostě mě to napadlo. Zkouška

user · 04. 05. 2013 12:40 — Editoval user (04. 05. 2013 12:41)

Ahoj,
mě napadá vlastnost, že lineární zobrazení je plně určeno obrazy báze. Pro vlastní vektor $x$ příslušející k vl. číslu $\lambda$ platí
$Ax=\lambda x$
Stačí lineární zobrazení definovat takto:
$A\begin{pmatrix}0\\ i\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-i\\-1 \end{pmatrix}\\ A\begin{pmatrix}1\\ 0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\\ A\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$
Pro určení matice lin. zobr stačí určit kam se zobrazí třetí vektor standardní báze:
$A\begin{pmatrix}0\\ 0\\1 \end{pmatrix}=A\left( \begin{pmatrix}0\\ i\\1 \end{pmatrix} -i\begin{pmatrix}0\\ 1\\0 \end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}0\\ i\\1 \end{pmatrix}-iA\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}=\\=\begin{pmatrix}0\\ -i\\-1 \end{pmatrix}-i\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2i\\-1 \end{pmatrix}$
No a výsledná matice bude
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2i \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ .