Matematické Fórum

kolejo · 25. 04. 2013 11:49

Dobrý den,
mám tu menší problém. Všechno ohledně vlastních vektorů a vlastních čísel zvládám až na ten jeden případ, kdy je vlastní číslo komplexní. Dokonce tu mám takový jednoduchý případ:
Zobrazení $\varphi :\mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}_2[x]$ je definováno pro všechny polynomy druhého stupně, po zobrazení báze 1,x,x^2 dostaneme matici
$\begin{matrix}1 &1 & 4& \\2 & 1 & 2& \\ -2 & 2 & 1&\end{matrix}$

Tedy 1 se zobrazí na -2x^2+2x+1 atd.

Vlastní čísla jsem spočítal správně, to není problém:
$3,i\sqrt{5},-i\sqrt{5}$

Dosadím 3 za lambda a dostanu (5,6,1) sloupec.
$[x^2+6x+5]$ je výsledný podprostor vlastních vektorů. To s výsledky sedí.

Nyní tu píšou (ve výsledcích), že podprostor příslušný dvojici komplexně sdružených vlastních čísel je
$[x^2-x,1]$

Mně ale vyšlo $[x^2-x+\text{komplexní číslo}]$

Dám sem postup (protože tak se to má):

$\begin{matrix}1+i\sqrt{5} &1 & 4& \\2 & 1+i\sqrt{5} & 2& \\ -2 & 2 & 1+i\sqrt{5}&\end{matrix}$

To řeším jako homogenní soustavu a dostal jsem:
$\begin{matrix}1+i\sqrt{5} &0 & 3& \\0 & 1 & 1& \\ 0 & 0 & 0&\end{matrix}$

což nevypadá špatně, ne?

$(1+i\sqrt{5})x_1=-3t, x_2=-t,x_3=t$

z x1 pak vyjde docela pěkně:
$x_1=(1-i\sqrt{5})t$

takže když to je v prostoru polynomů
$[x^2-x+(1-i\sqrt{5})]$

Ale to není správně.

Otázka je tedy jasná: co chápu špatně? Děkuji za pomoc,
kolejo

Hanis · 25. 04. 2013 18:30

Tak ony ty koeficienty musi byt realne, protoze jsi na R[x] a ne C[x], ni?

kolejo · 25. 04. 2013 18:33

↑ Hanis:
Jo, pravdu díš, tak to sedí, tedy ve výsledku bude
$[x^2-x]$

nevím, kde tam vzali tu 1

OT: fakt tam je čárka, můžeš se podívat. a vyšlo ti 2,b nějak srozumitelně?

Hanis · 25. 04. 2013 19:08

ja taky nevim a z cvik z algebry se domu dostanu az po osme, tak se na to pak kouknu

kolejo · 25. 04. 2013 19:16

↑ Hanis:
fajn, děkuju. třeba ještě do té doby na něco přijdu.

Hanis · 25. 04. 2013 20:51

Ve skriptech jsem nic nenašel, které jsou v učebních materiálech, kdyby to nebylo nad polynomy, tak to je správně a fungovalo by to s a+-bi podle věty 5.11.
Nad polynomy s reálnými koeficienty mám s tímto problém, snad se ozve někdo zkušenější.

kolejo · 25. 04. 2013 20:52

↑ Hanis:
souhlasím

kolejo · 12. 05. 2013 16:06

Tak už to vím, mohu označit za vyřešené.
A jak na to?
Špatně jsem pochopil jistou poznámku ve skriptech, teď už je mi to jasné.
Když je a+bi vlastní číslo, tak aji a-bi. Dosadíme jaké chceme, vyřešíme systém a dostaneme nějaký komplexní
(x+yi,f+gi,h).
Nemusíme dosazovat to druhé (komplexně sdružené) číslo. Z toho jednoho už vyčteme dva vlastní vektory...dle reálné a imaginární části:
(x,f,h) a (y,g,0) jsou vlastní vektory, proto tam ta jednička.
Děkuju

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2013 11:49

Podprostor vlastních vektorů (v C)

#2 25. 04. 2013 18:30

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#3 25. 04. 2013 18:33

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#4 25. 04. 2013 19:08

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#5 25. 04. 2013 19:16

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#6 25. 04. 2013 20:51

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#7 25. 04. 2013 20:52

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

#8 12. 05. 2013 16:06

Re: Podprostor vlastních vektorů (v C)

Zápatí