Matematické Fórum

mark72 · 13. 05. 2013 16:31

Ahoj, mohl by mi někdo prosím poradit, jak vyřešit tento příklad?

Z kruhu o poloměru 6 cm oddělte kruhovou úseč, která má výšku 5 cm. Do této kruhové úseče vepište obdélník maximálního obsahu. Určete jeho rozměry.

Já nevím, jak mám sestavit ty rovnice, dál si už snad poradím ;)

Děkuji za pomoc :)

MirekH · 13. 05. 2013 16:57

Dvě možnosti postupu zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=363167

mark72 · 13. 05. 2013 17:11

Tohle jsem už četla, ale nic z toho nepochopila :) ↑ MirekH:

Rumburak · 13. 05. 2013 17:14

Ahoj.

Umísti si ten kruh do kart. soustavy souřadnic Pxy (s osou y kladně orientovanou jako obvykle "nahoru"), např. tak, aby jeho
hraniční kružnice měla rovnici

(1) $x^2 + y^2 = 6^2$ .

Rozdělíme-li kruh na dvě části ("vodorovnou") přímkou o rovnici $y = 1$ , bude jeho "horní" část (obsahující bod [0,2] )
kruhovou úsečí o výšce 5 .
Obdélník vepsaný do této úseče bude určen svojí "výškou" $h \in (0, 5)$ . Na přímce $p_h$ o rovnici $y = 1 + h$
pak bude ležet "horní základna" obdélníka.
K určerní délky "základny" obdélníka bude potřeba určit x-ové souřadnice průsečíků přímky $p_h$ s kružnicí o r-ci (1).

bonifax · 13. 05. 2013 19:14

↑ mark72:

Ahoj, tento příklad jsem před nedávnem řešil, rád bych, proto si dovolil poskytnout moje řešení :-) Půjde o užití jednoduché pythagorové věty. Mnoho štěstí:)

$r=6cm$
$v=5cm$
Obsah: obdelníka: $P=a*b$
V našem případě: $P=2x*y$

Z Pythagorovy věty platí:
$x^2=r^2-(y+1)^2$
$x=\sqrt{r^2-(y+1)^2}$

$P=2x*y$
$P=2\sqrt{r^2-(y+1)^2}*y$
$P=2\sqrt{6^2-(y+1)^2}*y$
$P=2\sqrt{36-(y^2+2y+1)}*y$
$P=2y\sqrt{35-y^2-2y}$ Dále už jen stačí zderivovat a položit rovno 0.
$P'=.....$