Matematické Fórum

Keeeeke · 13. 05. 2013 11:26

Ahoj,
muze mi nekdo poradit, jak dokazat, ze v kvadru ABCDEFGH, kde AB=a, BC=b, AE=c je vzdálenost bodu A od přímky FH $x=\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+c^2}$ .
Díky

vanok · 13. 05. 2013 14:32

Ahoj ↑ Keeeeke:,
Toto cvicenie mozes vyriesit, vyberom vhodneho reperu priestoru. A tvoj problem je potom jednoduche cvicenie analytickej geometrie.

MirekH · 13. 05. 2013 15:09 — Editoval MirekH (13. 05. 2013 15:09)

↑ Keeeeke:
Pomocí analytické geometrie lze postupovat takto:
BÚNO zvolíme $A[0;0;0]$ a hrany kvádru rovnoběžné s příslušnými osami. Přímku $p$ , pro kterou $FH \in p$ , zapíšeme parametricky
$x = at$
$y = b - bt$
$z = c, t \in \mathbb{R}$
Najdeme kolmici z $A$ na $p$ , patou kolmice je bod $X[at, b - bt, c]$ . Směrový vektor kolmice $u_k = (X - A)$ skalárně vynásobíme s $u_p = (a; -b; 0)$ a požadujeme $u_p \cdot u_k = 0$ :
$a^2t - b^2 + b^2t = 0$
$t = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$
Nyní můžeme vyjádřit
$X = [\frac{ab^2}{a^2 + b^2}; \frac{a^2b}{a^2 + b^2}; c]$
a zbývá spočíst
$|XA| = \cdots$

Postup přes pravoúhlé trojúhelníky:
V rovině podstavy máme trojúhelník $ABX'$ , kde $X'$ je pata kolmice z $A$ na $p$ promítnutá do podstavy. Platí $\alpha = |\sphericalangle X'AB| = |\sphericalangle ADB|$ , takže
$|BX'| = a \sin \alpha = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}},$
$|AX'|^2 = a^2 - \frac{a^4}{a^2 + b^2}$
$|AX|^2 = a^2 - \frac{a^4}{a^2 + b^2} + c^2$
$|AX| = \cdots$