Matematické Fórum

Raiper34 · 16. 05. 2013 17:16

Zdar, mohol by mi niekto povedať nejaký jednotný jednoduchý postup na všetky tiet dôkazy?
$3 / (n^{3} +11)$

3 nedelí n $\Rightarrow$ 3 nedelí $n^{2}$

$4 / n^{2 }\Rightarrow 2/n$

Vďaka za každú pomoc

vanok · 16. 05. 2013 17:53 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:18)

Ahoj ↑ Raiper34:,
Na riesenie takychto cviceni je viacej metod.
Iste najlepsie je pouzit metodu, co ma suvis z tym co ste videli v skole.

Napr. Pre prve cvicenie mozes pouzit toto.
Ide o nepravdive tvrdenie. Skutocne pre n=0, $n^3 +11=11$ à to nie je delitelne 3 my.
Cize, toto tvrdenie neplati pre vsetki $n$

Raiper34 · 16. 05. 2013 20:57

↑ vanok:
Hmmm nejak som to nepochopil...

Arabela · 16. 05. 2013 21:04

Ahoj ↑ Raiper34:,
tieto tvrdenia asi majú platiť pre všetky prirodzené čísla n?
Vyzerá to tak... Ale malo by to tam byť uvedené.
1.tvrdenie.
jedna z možností je rozllíšiť tri prípady: n=3k, n=3k+1, n=3k+2, kde k je prirodzené (v prvom prípade), resp. k je celé nezáporné číslo (vo zvyšných dvoch), a v každom prípade zvlášť ukázať, že tvrdenie platí...

vanok · 17. 05. 2013 04:47 — Editoval vanok (17. 05. 2013 04:48)

↑ Raiper34:,
Ak nejake tvrdenie ma platit pre vsetki $n \in N$ a najdes nejake n pre ktore neplati, tak je jasne ze nemoze platit pre vsetki n.
A prave to je pripad tvojho prveho tvrdenia.

vanok · 17. 05. 2013 11:18

Poznamka, pre dalsie situacie.
Tu je moznost vyuzit, vlasnosti matematickych viet.
Presnejsie: ak " vyrok a implikuje vyrok b", tak je to ekuivalentne z tymto
" negacia vyroku b implikuje negaciu vyroku a"
Vola sa to dokaz vdaka kontrapozicii.

A casto to pomoze.

Inac posledny vyrok, je specialny pripad jednej vety, co ste iste videli v skole.

Raiper34

Tak druhy a treti uz viem ako by som robil.... ale ten prvy nie a nie vyjst.... mam to dokazat pre vsetky prirodzene cisla a ked tam dam to ze 3k....3k+1....3k+2 tak to nevyjde.... vzdy mi niekde vyjde 3l+1....
inak som to zle napisal ma to byt : $3 / (n^{3} +11n)$
sorry som preuceny....

vanok · 17. 05. 2013 14:07 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:19)

↑ Raiper34:, pochopitelne ti to nemoze vyst, vsak som ti jasne ukazal, ze to neplati pre 0, ale su aj ine cisla napr. 2, alebo 3.

To staci na dokaz toho, ze to vseobecne neplati.
( ina otazka by bola urci cisla pre ktore to plati...)

vanok · 17. 05. 2013 14:11 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:22)

Ano toto plati:
$3 / (n^{3} +11n)$ pre kazde prirodzene n.

Dam ti este ini priklad, ked ta vlasnost plati:
Dokazte, ze $n^3-n$ je delitelne 3-my pre kazde prirodzene cislo $n$
Toto dokazes bez tazkosti ( aspon dufam).

Ked sa ti to podari, mozem ti dat (ak chces) este jeden taky "trikovy" dokaz (tvojho cvicenia), ktory sa asi lahko nenajde, ale je trochu taky magicky.

Edit Opravil som male preklepy, aj v tom co som pisal vyssie.

Arabela

Ahoj ↑ Raiper34:,
ešte k tej metóde, ktorú som Ti navrhla. Výbornou pomôckou je urobiť si taký "úvodný rozklad" pred dosadením:
$m=n^{3}-11n=n(n^{2}-11)$ .
A teraz k jednotlivým prípadom.
a) $n=3k, k\in N$
$m=n(n^{2}+11)=3k((3k)^{2}+11)=3l_{1}, l_{1}\in N$ ,
$3|m$
b) $n=3k+1, k\in N_{0}$
$m=(3k+1)((3k+1)^{2}+11)=$
$=(3k+1)(9k^{2}+6k+1+11)=$
$=(3k+1)(9k^{2}+6k+12)=$
$=(3k+1)3(3k^{2}+2k+6)=$
$=3l_{2}, l_{2}\in N_{0}$
c) už budeš vedieť?

vanok · 17. 05. 2013 16:57

A teraz ta trochu magicka metoda.

Cislo $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ co znamena ze ten sucin je vytvoreny 3my po sebe iducimy cislamy, tak jedno z nich je iste delitelne 3my; a preto aj ich sucin $n^3-n$ .
Cislo $12n=3\cdot 4n$ je pochopotelne tiez delitelne 3my

A teraz vieme ze sucet dvoch cisiel delitelnych 3my je tiez delitelny 3my:
a preto $n^3-n+12n=n^3+11n$ je tiez delitelne tromy.

Pekne, ze.

Arabela

Zdravím ↑ vanok:,
áno, pekné. Dúfajme, že aj kolega Raiper34 to ocení...
Postup, ktorý som mu navrhla ja, má univerzálnejší charakter (preto som s ním aj začala - kolega chcel čosi univerzálne).
Ale Tvoj postup je rozhodne taký, že by v danej téme nemal byť vynechaný (tiež som ho chcela uviesť, neskôr ...:)).

Raiper34 · 18. 05. 2013 12:48

Vďaka už to asi chápem :)

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2013 17:16

Dôkazy

#2 16. 05. 2013 17:53 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:18)

Re: Dôkazy

#3 16. 05. 2013 20:57

Re: Dôkazy

#4 16. 05. 2013 21:04

Re: Dôkazy

#5 17. 05. 2013 04:47 — Editoval vanok (17. 05. 2013 04:48)

Re: Dôkazy

#6 17. 05. 2013 11:18

Re: Dôkazy

#7 17. 05. 2013 14:03 — Editoval Raiper34 (17. 05. 2013 14:58)

Re: Dôkazy

#8 17. 05. 2013 14:07 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:19)

Re: Dôkazy

#9 17. 05. 2013 14:11 — Editoval vanok (17. 05. 2013 14:22)

Re: Dôkazy

#10 17. 05. 2013 16:50 — Editoval Arabela (18. 05. 2013 14:28)

Re: Dôkazy

#11 17. 05. 2013 16:57

Re: Dôkazy

#12 17. 05. 2013 17:32 — Editoval Arabela (18. 05. 2013 14:25)

Re: Dôkazy

#13 18. 05. 2013 12:48

Re: Dôkazy

Zápatí