Matematické Fórum

Hanis · 19. 05. 2013 16:15 — Editoval Hanis (19. 05. 2013 16:21)

Ahoj :-)

Zadání: Sestrojte všechny homomorfismy $(Z_4,+) \rightarrow (Z_{13}^×,\cdot)$

Ahoj,

Generátory $(Z_4,+)=\{1,3\}$
Generátory $(Z_{13}^×,\cdot)=\{2,6,7,11\}$

A teď chci stvořit nějaký homomorfismus psí.
Tak neutrální prvek na neutrální:

$\psi(0)=1$

Generátor na generátor:

$\psi(1)=2$
$\psi(2)=4$
$\psi(3)=8$

Ale když chci:

$\psi(1)=\psi(5)=\psi(3+2)=8\cdot 4 =[32]_{13}\neq 2$

Tak nevím, jaká tam je ještě podmínka... vím, že se to tu na fóru řešilo, ale nějak mi to nejde do hlavy, něco dělám špatně, protože mi to závisí a reprezentantech...

vanok · 19. 05. 2013 16:50

Ahoj ↑ Hanis:,
Ako prve mozes zacat hladat rady vsetkych prvkov v kazdej grupe.

Hanis · 19. 05. 2013 17:46 — Editoval Hanis (19. 05. 2013 17:55)

V Grupě $(Z_4,+)$ :

$ord(0)=1$
$ord(1)=ord(3)=4$ (generátory)
$ord(2)=2$

V $(Z_{13}^×,\cdot)$

$ord(1)=1$
$ord(2)=ord(6)=ord(7)=ord(11)=12$
$ord(3)=ord(9)=3$
$ord(4)=ord(10)=6$
$ord(5)=ord(8)=4$
$ord(12)=2$

Ale stále mi to není jasné, co kam poslat.
Pokud uvažuju správně, tak generátor musím poslat na generátor. A současně prvky stejného řádu na prvky stejného řádu? To pak ale nepůjde nikdy, protože už generátory mají rozdílný řád...

EDIT:
Ale pokud budu posílat pouze prvky stejného řádu na prvky stejného řádu, tj.

$0\rightarrow 1$
$1\rightarrow 8$
$2\rightarrow 12$
$3\rightarrow 5$

Tak to funguje.

A pro:

$0\rightarrow 1$
$1\rightarrow 5$
$2\rightarrow 12$
$3\rightarrow 8$

Taky funguje a je vyřešeno. Tedy existují právě 2 homomorfismy, splňující zadání.
Lze to i nějak jednodušeji? Děkuji.

vanok · 19. 05. 2013 18:08

↑ Hanis:, jednoduchsie asi nie.... ale toto vyuziva len zakladne vlasnosti a definicie.

Hanis · 19. 05. 2013 18:11

Děkuji za cennou radu, neměl jsem na mysli složitost co se týče postupu, měl jsem na mysli pracnost a časovou náročnost.

Označuji za vyřešené,
s pozdravem Honza.

Andrejka3 · 19. 05. 2013 18:24

↑ Hanis:
Není jich 3?
Co třeba $1 \mapsto 12$ ?

Hanis · 19. 05. 2013 18:30

Aha, to je pravda.
Takže nejen na stejný řád, ale můžeme "krátit"?

vanok · 19. 05. 2013 18:34

↑ Andrejka3:,
ano prehliadol som to;
a tiez je aj jeden 4ty, dedinovany tymto $1 \mapsto 1$

Poznamka:treba pouzit prvky ktorych rad v druhej grupe deli rad prvej, cyklickej grupy.

Hanis · 19. 05. 2013 18:36

Rozumím, děkuji, teď mám jasno.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2013 16:15 — Editoval Hanis (19. 05. 2013 16:21)

Konstrukce homomorfismů grup

#2 19. 05. 2013 16:50

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#3 19. 05. 2013 17:46 — Editoval Hanis (19. 05. 2013 17:55)

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#4 19. 05. 2013 18:08

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#5 19. 05. 2013 18:11

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#6 19. 05. 2013 18:24

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#7 19. 05. 2013 18:30

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#8 19. 05. 2013 18:34

Re: Konstrukce homomorfismů grup

#9 19. 05. 2013 18:36

Re: Konstrukce homomorfismů grup

Zápatí