Matematické Fórum

honyik · 24. 05. 2013 14:14

Zdravím,
potřeboval bych poradit s tímto příkladem:

Určete, zda množina V je podprostorem daného lineárního vektorového prostoru. Pokud ano, určete dimenzi tohoto podprostoru V.

1) V prostoru $R_{5}$ je $V =\{[x_{1},x_{2},0,0,x_{5}]^{T} | [x_{1},x_{2},x_{5}\in \mathbb{R}\}$ .
2) V prostoru $R_{5}$ je $V =\{[x_{1},x_{2},2,x_{4},x_{5}]^{T} | [x_{1},x_{2},x_{4},x_{5}\in \mathbb{R}\}$ .

vanok · 24. 05. 2013 14:36

Ahoj ↑ honyik:,
1)
Ako prve mozes dokazat ze $[1;0;0;0;0] ^ T;[[0;1;0;0;0]^ T;[0;0;0;0;1]^ T$ je baza V
2) ukaz, ze $[0;0;0;0;0]^ T$ nie je v V.... Co znamena......

honyik · 24. 05. 2013 15:02

Takže si to dám do matice, která je rovno nule?

1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 1 | 0

Z toho vychází, že bázi tvoří. A co dál?

vanok · 24. 05. 2013 15:10

To pises o 1)
Ten tvoj zapis sa da interpretovat ako riesenie urciteho systemu, a to da ze je mozne napisat jedinym sposobom nulovy vektor.... A na koniec ze tie tri vektory co som napisal vyssie su LN
A ako ukazes ze generuju V?

Poznamka: tvoj pristup ukazuje, ze si uz dost studoval tieto pojmy, ale musis sa zlepsit aby si to dokazal jasne vyjadrit.

À co otazka 2) ?

honyik · 24. 05. 2013 15:32

1) No to bych ukázal, tak že bych si vypočítal hodnost, která je 3, ale dimenze je 5? Takže ji negenerují?

2) Tomuhle nerozumím, spíš nevím co tím myslíš a jak na to?

Rumburak

↑ honyik:

Ahoj.
Kolega ↑ vanok: tu momentálně není přihlášen, tak se pokusím odpovědět za něho.

K otázce č. 1 je důležité si uvědomit, že pro libovolná $x_{1}, x_{2}, x_{5}\in \mathbb{R}$ je

$[x_{1}, x_{2}, 0, 0, x_{5}]^{T} = x_1 [1 , 0, 0, 0 , 0]^{T} + x_2 [0 , 1, 0, 0 , 0]^{T} + x_5 [0 , 0, 0, 0 , 1]^{T}$ ,

při čemž vektory $[1 , 0, 0, 0 , 0]^{T} , [0 , 1, 0, 0 , 0]^{T} , [0 , 0, 0, 0 , 1]^{T}$ jsou lineárně nezávislé.

K otázce č. 2 je důležité si uvědomit, že každý podprostor vektorového prostoru W m.j. obsahuje nulový vektor prostoru W ,
což v případě prostoru $W = R_{5}$ je vektor $[0 , 0, 0, 0, 0]^T$ .

vanok · 24. 05. 2013 16:05 — Editoval vanok (24. 05. 2013 16:05)

Tie tri vektory su baza V.
Uz vies ze su LN.
À naviac mas $[ x_1; x_2;0;0; x_3]^ T=x_1[1;0;0;0;0] ^ T+ x_2[0;1;0;0;0]^ T+ x_3[0;0;0;0;1]^ T$ , co znamena ze V je generovane z $[1;0;0;0;0] ^ T;[[0;1;0;0;0]^ T;[0;0;0;0;1]^ T$ !

Mas pravdu ze povodny priestor ma dim 5, à toto ukazuje, ze V ma dim 3.

vanok · 24. 05. 2013 16:07

2)kazdy podpriestor obsahuje nulovy vektor, ale tento ho nema, cize....

vanok · 24. 05. 2013 16:09 — Editoval vanok (24. 05. 2013 16:38)

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Zaroven piseme a to iste. Ako sa hovori Velki duchovia sa casto stretnu.

Rumburak · 24. 05. 2013 16:13

↑ vanok:
Také Tě zdravím. Ale při tak silných slovech upadám do rozpaků :-).

honyik · 24. 05. 2013 19:07

↑ vanok:

Mohl bys prosím naznačit, jak si na to přišel, že nemá nulový vektor?

vanok · 25. 05. 2013 10:32

↑ honyik:,
To preto, lebo V obsahuje vylucne prvky, ktorych tretia suradnica musi byt 2. ( nulovy vektor, ma vsetki suradnice nulove, tak pochopitelne aj tu tretiu)

honyik · 25. 05. 2013 12:48

Tak teď vůbec nechápu. O jaké souřadnice se jedná? A proč to musí být 2, protože 5-3=2?

Rumburak · 25. 05. 2013 13:07

↑ honyik:

Zadání $V =\{[x_{1},x_{2}, \fbox{2},x_{4},x_{5}]^{T} | x_{1},x_{2},x_{4},x_{5}\in \mathbb{R}\}$ z úlohy 2 stanoví, že pro libovolný vektor

$[x_{1},x_{2},x_3,x_{4},x_{5}]^{T} \in V$ je $x_3 = 2$ , tuto podmínku však nulový vektor $[0, 0, 0, 0, 0]^{T}$ nesplňuje ,

proto $[0, 0, 0, 0, 0]^{T}\notin V$ .

honyik · 25. 05. 2013 13:36

Jo aha, takže pro rekapitulaci prvního příkladu:

$V =\{[x_{1},x_{2},0,0,x_{5}]^{T} | x_{1},x_{2},x_{5}\in \mathbb{R}\}$

$x_{1},x_{2},x_{5}$ mi udávají, že hledám nulový vektor $[x_{1},x_{2},x_{3}] = [0,0,0]$ .

To splňuje a znamená, že je to podprostor. Proto si vemu vektory $[1,0,0,0,0]^{T} , [0,1,0,0,0]^{T},[0,0,0,0,1]^{T}$ , abych si vypočítal dimenzi podprostoru a dám do matice.

1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 1 | 0

Z toho vidím, že $[1,0,0,0,0]^{T} , [0,1,0,0,0]^{T},[0,0,0,0,1]^{T}$ jsou báze V a dim V = 3.

Rumburak

↑ honyik:
Snad to myslíš dobře, ale to, co jsi teď napsal, je matamatickému vyjadřování velmi vzdáleno :-) a tudíž nesrozumitelné.
V první úloze se žádný nulový vektor hledat nemusí. Prostě vztah

$[x_{1}, x_{2}, 0, 0, x_{5}]^{T} = x_1 [1 , 0, 0, 0 , 0]^{T} + x_2 [0 , 1, 0, 0 , 0]^{T} + x_5 [0 , 0, 0, 0 , 1]^{T}$

platný právě pro pro každý vektor $[x_{1}, x_{2}, 0, 0, x_{5}]^{T} \in V$ (platný na základě definic lineárních operací v $R_{5}$ , čemuž bys měl rozumět)
říká, že $V$ je lineárním obalem vektorů

(1) $[1 , 0, 0, 0 , 0]^{T} , [0 , 1, 0, 0 , 0]^{T} , [0 , 0, 0, 0 , 1]^{T}$

(tudíž podprostorem v $R_{5}$ , odkud vektory (1) jsou ).

Vektory (1) tedy představují systém generátorů (pod)prostoru $V$ - navíc jsou lineárně nezávislé (to bys měl vědět, není těžké to dokázat) a proto
můžeme říci, že tento systém generátorů (pod)prostoru $V$ je jeho bází. Platí věta, že všechny možné báze téhož vekt. prostoru mají stejný počet prvků,
toto číslo se nazývá dimensí onoho prostoru. V případě (pod)prostoru $V$ je toto číslo rovno 3, protože jeho báze (systém (1)) má 3 prvky.

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2013 14:14

Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#2 24. 05. 2013 14:36

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#3 24. 05. 2013 15:02

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#4 24. 05. 2013 15:10

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#5 24. 05. 2013 15:32

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#6 24. 05. 2013 16:04 — Editoval Rumburak (25. 05. 2013 11:24)

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#7 24. 05. 2013 16:05 — Editoval vanok (24. 05. 2013 16:05)

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#8 24. 05. 2013 16:07

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#9 24. 05. 2013 16:09 — Editoval vanok (24. 05. 2013 16:38)

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#10 24. 05. 2013 16:13

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#11 24. 05. 2013 19:07

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#12 25. 05. 2013 10:32

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#13 25. 05. 2013 12:48

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#14 25. 05. 2013 13:07

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#15 25. 05. 2013 13:36

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

#16 25. 05. 2013 14:13 — Editoval Rumburak (25. 05. 2013 14:24)

Re: Lineární algebra - Podprostor vektorového prostoru

Zápatí