Matematické Fórum

Xaraso · 25. 05. 2013 10:27

Dobrý deň, majme iracionálnu rovnicu: $\sqrt{5-\sqrt{x+8}}=\sqrt{x+8}-3$ úpravami sa vieme dostať k tvaru $5\sqrt{x+8}=x+12$ Ľavá strana musí byť väčšia ako 0, $5\sqrt{x+8}\ge 0$ $x\ge -8$ pravá sa musí rovnať ľavej teda aj tá musí byť väčšia ako 0 $x\ge -12$ $D(f)=(-8;\infty )$ Ale koreň $-7$ mi v skúške nevyjde. takže asi mám zle D(f), ako sa vyrieši D(f) tejto rovnice prosím Vás ?

jelena · 25. 05. 2013 10:38

Zdravím,

nalevo v původním zadání je odmocnina, proto je ještě jedna podmínka, že $\sqrt{x+8}-3\geq 0$ (výsledek odmocniny musí být nezáporný - uvažoval jsi tuto podmínku? Děkuji.

Xaraso · 25. 05. 2013 10:44

↑ jelena: Ďakujem neuvažoval, $\sqrt{x+8}\ge 3$ $x\ge 1$ , teraz to už sedí, ale môžem pri podmienkach umocňovať na druhú ?

jelena · 25. 05. 2013 10:46

↑ Xaraso:

opět překontroluješ v nerovnici $\sqrt{x+8}\ge 3$ obě strany jsou nezáporné, tedy můžeš umocňovat.

marnes · 25. 05. 2013 11:51

↑ jelena:

Zdravím.
Chci se dotázat. Když by bylo úkolem řešit tuto rovnici, je nutné dělat D(f)?. Osobně bych rovnici vyřešil a vzhledem k neekvivalentním úpravám pak provedl zkoušku, čímž bych vyloučil nepřípustné řešení.
Šlo by takto řešit?

Rumburak

↑ Xaraso:

Ahoj.

Aby byla definována $\sqrt{x+8}$ , musí být

(1) $x + 8 \ge 0$ .

Dále upravme rovnici $\sqrt{5-\sqrt{x+8}}=\sqrt{x+8}-3$ na tvar

$\sqrt{2 - (\sqrt{x+8}-3)}=\sqrt{x+8}-3$

a proveďme v ní substituci substituci $y = \sqrt{x+8}-3$ . Tím dostaneme

(2) $\sqrt{2 - y}=y$ .

Z tvaru (2) plyne $2 - y \ge 0$ (aby byla definována $\sqrt{2 - y}$ ) , tedy

$y \le 2$ ,
$\sqrt{x+8}-3 \le 2$ ,
$\sqrt{x+8}\le 5$ ,
$x+8 \le 25$ ,
$x \le 17$ .

Celkem s (1) dostáváme $-8 \le x \le 17$ .

Pododobnými kroky by se rovnice řešila. Z (2) dostáváme $2-y = y^2$ , která má kořeny $-2 , 1$ ,
avšak rovnici (2) vyhovuje pouze kladný kořen (s ohledem na obor hodnot druhé odmocniny. Tedy $y = 1$ .
Z rovnice $\sqrt{x+8}-3 =1$ snadno spočteme $x = 8$ .

Rumburak · 25. 05. 2013 12:44

↑ marnes:

Ahoj.

Ano, takový postup je korektní a zpravidla i výhodný.

Rumburak · 25. 05. 2013 13:46

↑ jelena:

Srdečně zdravím. :-)
Dovolím si drobnou poznámku. Že levá strana dané rovnice nabývá pouze nezáporných hodnot (protože jde o hodnoty druhé odmocniny)
je samožřeejmě pravda a dá se toho při výpočtu kořenů rovnice využít, například konstatováním, že každý kořen rovnice musí splňovat
podmínku $\sqrt{x+8}-3\geq 0$ , avšak to už podle mne není záležitostí "definičního oboru" té rovnice. Definičním oborem rovnice má
být pouze specifikováno, pro která $x$ mají levá a pravá strana smysl, nic více.

marnes · 25. 05. 2013 14:01

↑ Rumburak:
Dík za odpověď

jelena · 25. 05. 2013 15:40

↑ Rumburak:, ↑ marnes:

Zdravím,

Nejsem ani metodik, ani matematická autorita, zapisuji tak, jak mi bylo na SŠ vysvětleno a jak jsem za léta uznala, že to smysl má :-)

Tedy, pokud dostanu k řešení rovnici, tak považuji za slušné vypsat podmínky předem (nemusím ale rovnice, nerovnice podmínek řešit, jen zapsat). Proč:

a) protože již formulace podmínek může být taková, že rovnice nemá řešení (smysl),
b) protože podmínky mám sbírat od okamžiku zadání přeš všechny úpravy, co provedu,
c) protože s kolegou Rumburakem jsme již tuto otázku rozebírali :-)

↑ Rumburak:

definiční obor zde dle mého není ideální označení (a zdá se, že kolega, byť to dal do názvu, tak rozumí podmínky úprav a řešitelnosti). U Poláka je označení "Obor řešení rovnice" (jelikož mám brát v potaz jak def. obory funkcí nalevo a napravo od =, ale také i podmínku, pro kterou bude platit rovnost. Tak?

kolega Rumburak napsal(a):
Dovolím si drobnou poznámku

"nechtěl mi říci, kterak bývám nejčastěji pojmuta a zobrazena v něžných oněch hovorech, avšak podle výrazu jeho tváře a několika kusých vět myslím, že bývám považována za tvor nesnesitelně arogantní, jenž studoval na jakési tajné amazonské univerzitě, kdež čerpal svoje do světa se nehodící náhledy".

"S nejvroucnějším pozdravem Tvoje nejvěrnější" (c)

Rumburak

ad Jelena (Bohužel se mi u Tvého posledního příspěvku nezobrazuje "Raagovat" .

Ano, zužovat možnosti pro hodnoty neznámé tak, jak během postupu řešení příslušné dílčí podmínky jsou objevovány, ať již jde
o podmínky plynoucí z definičích oborů jednotlivých výrazů či podmínky plynoucí z oborů hodnot těchto výrazů, je samozžejmě
možné a při praktickém řešení úloh se to tak s výodou dělá, proti tomu nelze nic namítat.

Já jsem ve svém příspěvku vycházel z předpokladu, že tazatel chce zejména poradit ani ne tak s řešením rovnice, jako spíše
s postupem, jak zjistit definiční obor rovnice (jakožto výrokové formy), jak uvedeno v názvu tématu i v hlavním textu.
A u této dílčí úlohy jde pouze o to zjistit, kdy výroková forma má smysl, tj. kdy dosazemním konkretní hodnoty za neznámou
dostaneme (už) výrok, ať již pravdivý nebo nepravdivý, což v případě rovnice $\sqrt{5-\sqrt{x+8}}=\sqrt{x+8}-3$ je
tehdy a jen tehdy, když $-8 \le x \le 17$ (pakliže jsem se nepřepočítal).

PS. Pokud jde o krásnou literaturu, Tvému obzoru nestačím :-) - v současné době mám rozečtenou Lornu Doonovou (Blackmore).

Přeji Ti hezký den. :-)

jelena · 27. 05. 2013 12:07

↑ Rumburak:

Také hezky pozdrav a děkuji :-)

Já jsem zas vycházela, že kolega část podmínek zaznamenal správně, ale něco mu uniklo. Věřím, že je komplet ujasněno.

OT ke četní: já jen využívám každou vhodnou (a nevhodnou) příležitost, abych pokračovala ve Tvém seznámení s dílem mé oblíbené autorky (a jsem ráda, že vyhledáváním vhodného citátu mám možnost polistovat). Rozečteno mám hodně, ale s časem potíž, ovšem v pátek jsme byli tady - měli volný vstup všude a mohli jsme i knihy brát a prohlížet, jinak jen ve studovně. Moc hezká rekonstrukce. Děkuji za sdělení, co je rozečteno a pohodové čtení přeji.

Konec OT.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2013 10:27

Definičný obor

#2 25. 05. 2013 10:38

Re: Definičný obor

#3 25. 05. 2013 10:44

Re: Definičný obor

#4 25. 05. 2013 10:46

Re: Definičný obor

#5 25. 05. 2013 11:51

Re: Definičný obor

#6 25. 05. 2013 12:41 — Editoval Rumburak (25. 05. 2013 12:56)

Re: Definičný obor

#7 25. 05. 2013 12:44

Re: Definičný obor

#8 25. 05. 2013 13:46

Re: Definičný obor

#9 25. 05. 2013 14:01

Re: Definičný obor

#10 25. 05. 2013 15:40

Re: Definičný obor

kolega Rumburak napsal(a):

#11 27. 05. 2013 09:31 — Editoval Rumburak (27. 05. 2013 10:01)

Re: Definičný obor

#12 27. 05. 2013 12:07

Re: Definičný obor

Zápatí