Matematické Fórum

marekjakub · 25. 05. 2013 18:13

Dobrý den, zaboha nemoohu přijít na řešení tohoto příkladu:

Vypočítejte objem tělesa, které je ohraničeno souřadnými rovinami 1.oktantu a rovinou 3x+y+2z-6=0

Předem moc děkuji za vystětlení této problematiky.

ambi · 26. 05. 2013 04:49

Nejdřív to chce správný obrázek, pro první oktan platí že $x\ge 0\wedge y\ge 0\wedge z\ge 0$ . Rovinu nakreslíš tak že si najdeš její průsečíky se souřadnými osami
$x=0\wedge y=0\Rightarrow z=6$
$x=0\wedge z=0\Rightarrow y=6$
$y=0\wedge z=0\Rightarrow x=2$
Nakresli si obrázek a uvidíš, že se jedná o jehlan s vrcholem v počátku a podstavou náležící zadané rovině.

Teď začni psát integrál, prvně integruješ v proměnné z, a protože je to první integrace tak meze budou tvořit plochy(v tomto případě roviny). Z obrázku bys měl vidět že dolní mez je rovina $z=0$ , a horní $z=3-\frac{3x}{2}-\frac{y}{2}$ (po vyjádření proměnné z ze zadané rovnice). Integrál má tedy takovýto tvar:
$\int_{0}^{3-\frac{3x}{2}-\frac{y}{2}}dz$
Tím jsi se pro druhou integraci zbavil proměnné z, a zbývají ti jen x a y. Meze proto budou tvořit křivky, v tomto případě přímky. Integruj v proměnné y. Z obrázkuje vidět, že dolní mez je $y=0$ a horní je $y=6-3x$ . Integrál teď vypadá takhle:
$\int_{0}^{6-3x}\int_{0}^{3-\frac{3x}{2}-\frac{y}{2}}dz\cdot dy$
Naposledy přidáš meze pro x, viditelné opět z obrázku, tentokrát to budou jen čísla:
$\int_{0}^{2}\int_{0}^{6-3x}\int_{0}^{3-\frac{3x}{2}-\frac{y}{2}}dz\cdot dy\cdot dx$
No a integruješ to postupně zevnitř. Výsledek je 6

Nebo to prostě můžeš spočítat podle vzorce na objem jehlanu, který už někdo před námi odvodil, a vykašlat se na trojný integrály. Vyjde to stejně a zabere čtvrtinu času:) ale to se po tobě asi nechce

marekjakub · 26. 05. 2013 09:11

↑ ambi: moc děkuji za reakci, velmi mi pomohla. Nejorší je najít ty meze , pak už se to dá vypočítat. Bohužel v písemce to musíme počítat pomocí intgrálú :-(

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2013 18:13

Výpočet bjemu poocí dvojného nebo trojného integrálu

#2 26. 05. 2013 04:49

Re: Výpočet bjemu poocí dvojného nebo trojného integrálu

#3 26. 05. 2013 09:11

Re: Výpočet bjemu poocí dvojného nebo trojného integrálu

Zápatí