Matematické Fórum

smajdalf · 30. 05. 2013 21:56

Zdravím všechny,
potřeboval bych poradit s jedním příkladem z geometrie.

Napište rovnice tečen vedených z počátku soustavy souřadnic ke kuželosečce o rovnici

$x^2 - 4xy - y^2 + 4x + 1 = 0$

S tímhle příkladem si nevím vůbec rady.
Jasně, že rovnice tečny (přímky) je:

$p: X = A + t \cdot \overrightarrow{s}$
kde bod A bude [0;0], ale jak zjistim ten směrový vektor $\overrightarrow{s}$ tak, abych jen "líznul" danou kuželosečku.

Poraďte. :D

jelena · 30. 05. 2013 22:30

Zdravím,

velmi podrobně tuto úlohu rozebral kolega Rumburak, kolegovi děkuji (je všechno jasné?) Děkuji.

Arabela

Ahoj ↑ smajdalf:,
netuším, o akú kužeľosečku ide (poznám iba rovnice kužeľosečiek v tých bežne známych "polohách" voči súradnicovým osiam), táto je asi nejako "natočená"...
Ale možno by sa dal využiť onen princíp, že kužeľosečka má s dotyčnicou spoločný práve jeden bod...
Rovnicu priamky prechádzajúcej počiatkom by som volila v smernicovom tvare $y=kx$ , dosadiť do rovnice kužeľosečky, upraviť, v získanej kvadratickej rovnici položiť D=0 a vypočítať hodnoty k...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

smajdalf · 31. 05. 2013 09:53

↑ Arabela:

Arabelko díky moc, to je naprosto elegantní a jednoduchý postup.

Díky.

Arabela · 31. 05. 2013 11:15

↑ smajdalf:
som rada, že to pomohlo. Má to iba malilinký háčik. U paraboly a hyperboly existujú priamky, ktoré majú s kužeľosečkou jediný spoločný bod, a pritom nie sú dotyčnicami, ale sečnicami s jedným spoločným bodom (u paraboly sú to priamky rovnobežné s osou paraboly a u hyperboly priamky rovnobežné s jej asymptotami)... Takže možno by bolo potrebné ošetriť aj tieto záležitosti.... hmm...

smajdalf · 31. 05. 2013 11:34

↑ Arabela:

To máš asi pravdu, ale u tohohle konkrétního příkladu to vyšlo správně ačkoli se jednalo o hyperbolu.
Všechno jsem si to nakreslil v GeoGebře.

Podle mě za to může fakt, že bylo zadáno, aby ty tečny procházeli počátkem Oxy.
To by musela být velká náhoda, aby i ta kuželosečka byla zadána tak, že by (např. u paraboly) její osa byla rovnoběžná s těmito hledanými tečnami.

Nebo možná taky to, že jsme položili diskriminant roven nule, což je stav, kdy parabola (ta kvadratická rovnice)
"tečuje" osu x.

Ale je to zajímavá myšlenka, nejspíš by se to mělo nějak ošetřit...

smajdalf

↑ jelena:

Jeleno taky ti děkuju.

Tenhle Rumburakův postup je přesně směr, kterým jsem se chtěl vydat,
ale pak jsem potkal Arabelu.

A ta mi učarovala :-D

Ale díky - tobě i Rumburakovi.

Arabela

↑ smajdalf:
Tušila som, že pôjde o hyperbolu, keďže tam bolo kladné znamienko pri $x^{2}$ a záporné pri $y^{2}$ (zmiešaný člen x.y zjavne "pribudol" pri "natočení" hyperboly o určitý uhol)... Budem sa musieť aj ja "podkuť" v tej Geogebre, aby som si mohla riešenia aj takto prakticky overovať ...:)
Naše riešenie je jednoduché, ale svojím spôsobom "nedokonalé". Kolegyňa Jelena dala odkaz od kolegu Rumburaka, ale neviem sa cez to "prelúskať". Ničmenej vyzerá to tak, že jeho príspevok zahŕňa problematiku v celej komplexnosti...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

smajdalf · 31. 05. 2013 14:50

↑ Arabela:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

No tak jsem to zkusil ještě jednou podle toho co radí Rumburak (až v závěru jeho příspěvku) a hleďme:
Použijeme parametrickou rovnici tečny: $p: X= A +t \cdot \overrightarrow{s}$
V našem případě bod $A = [0;0]$ , takže po rozepsání:
$x = t \cdot s_1$
$y = t \cdot s_2$

Tyhle param. rovnice přímky teď dosadíme do rovnice kuželosečky:
$(t \; s_1)^2 - 4 \; t^2 s_1 s_2 - (t \; s_2)^2 + 4 \; t \; s_1 + 1 = 0$

upravíme na kvadratický tvar:
$\underbrace{(s_1^2 - 4s_1s_2 - s_2^2)}_{a} \cdot t^2 + \underbrace{4s_1}_{b} \cdot t + \underbrace{1}_{c} = 0$

spočítáme diskriminant:
$D = 16 s_1^2 - 4 \cdot (s_1^2 - 4s_1s_2 - s_2^2)$

a položíme jej roven nule:
$12 s_1^2 + 16s_1s_2 + 4s_2^2 = 0$

Teď zvolíme např.: $s_1 = 1$ a dostaneme další kvadr. rovnici:
$12+16s_2+4s_2^2 = 0 \;\;\;/ :4$
$s_2^2+4s_2+3 = 0$ , tj.
$(s_2+3) \cdot (s_2+1) = 0$

takže kořeny jsou:
$s_{2_1} = -1$
$s_{2_2} = -3$

No a získali jsme dva směrové vektory:
$\overrightarrow{s_1} = (1;-1)$
$\overrightarrow{s_2} = (1;-3)$

teď už je jenom dosadíme do rovnice přímky:
$p_1:$ $x = t \nl y = -t$
$p_2:$ $x = t \nl y = -3t$

Na závěr už stačí jen převést na směrnicový tvar:
$p_1: \;\; x + y = 0 \\ p_2: 3x+y=0$

A je to.
V podstatě stejný postup jako ten tvůj, jen s parametrickými rovnicemi.

Arabela · 31. 05. 2013 14:56

↑ smajdalf:
ďakujem. Máš pravdu - je to iba obdoba toho "môjho" postupu... K dokonalosti mi tam však chýba ono overenie, že tieto priamky nie sú rovnobežné s asymptotami, a teda že to nie sú sečnice s jedným spoločným bodom... Alebo je to v tomto prípade zrejmé? Bez určenia smerníc asymptot?... Nuž, naozaj neviem... Ale v tejto oblasti sa nepokladám za odborníka... Priznám sa, že sa niekedy odvažujem do oblastí, o ktorých veľa neviem - a je to potom taká "partizánčina" z mojej strany... Ale občas sa aj zadarí, no...:)

Rumburak

↑ Arabela:
Ahoj.

Má-li přímka s kuželocečkou pouze jeden spol. bod a NENÍ TO BOD DOTYKU (parabolu takto protíná rovnoběžka s její osou,
hyperbolu vlastní rovnoběžka s její asymptotou), pak se to při řešení soustavy [rovnice kuželosečky, rovnice přínky] projeví
tím, že eliminací neznámé vypadne kvadratický člen , takže souřadnici průsečíku získáme jako kořen LINEÁRNÍ ROVNICE.

Shodou okolností jsme právě včera tuto otázku řešili zde.

Arabela · 31. 05. 2013 15:43

↑ Rumburak:
super... Ďakujem za odpoveď.

smajdalf · 31. 05. 2013 16:26

No vida, jak jsme to dali krásně dohromady.

Díky všem.

Tady už jen na závěr ilustrace, jak ta naše řešená situace vypadá v GeoGebře:

Arabela · 31. 05. 2013 16:36

↑ smajdalf:
krása...:)

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2013 21:56

Geometrie - kuželosečka

#2 30. 05. 2013 22:30

Re: Geometrie - kuželosečka

#3 30. 05. 2013 22:31 — Editoval Arabela (30. 05. 2013 22:33)

Re: Geometrie - kuželosečka

#4 31. 05. 2013 09:53

Re: Geometrie - kuželosečka

#5 31. 05. 2013 11:15

Re: Geometrie - kuželosečka

#6 31. 05. 2013 11:34

Re: Geometrie - kuželosečka

#7 31. 05. 2013 11:38 — Editoval smajdalf (31. 05. 2013 11:46)

Re: Geometrie - kuželosečka

#8 31. 05. 2013 11:45 — Editoval Arabela (31. 05. 2013 11:49)

Re: Geometrie - kuželosečka

#9 31. 05. 2013 14:50

Re: Geometrie - kuželosečka

#10 31. 05. 2013 14:56

Re: Geometrie - kuželosečka

#11 31. 05. 2013 15:39 — Editoval Rumburak (31. 05. 2013 15:46)

Re: Geometrie - kuželosečka

#12 31. 05. 2013 15:43

Re: Geometrie - kuželosečka

#13 31. 05. 2013 16:26

Re: Geometrie - kuželosečka

#14 31. 05. 2013 16:36

Re: Geometrie - kuželosečka

#15 08. 07. 2013 12:00 Příspěvek uživatele luciezapl byl skryt uživatelem jelena. Důvod: založeno samostatné téma

Zápatí